Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования) | Мир педагогики и психологии №04 (105) Апрель 2025

Роль графических работ при формировании геометрических представлений у обучающихся

Колмогорова Дарья Евгеньевна
ассистент кафедры медицинской физики, Амурская государственная медицинская академия, студент, 1 курс магистратуры, Факультет физико-математического образования и технологии, Благовещенский государственный педагогический университет, Россия, г.Благовещенск, e-mail: Kolmogorova2002@list.ru
Ермак Наталья Валентиновна
канд. физ-мат наук, доцент кафедры физического и математического образования, Благовещенский государственный педагогический университет, Россия, г.Благовещенск, e-mail: ermaknv22@mail.ru

Аннотация: В статье обсуждается роль графической работы в процессе развития пространственного мышления у школьников. Графическая работа организовывается как активный процесс, в котором учащиеся решают различные задачи, связанные с построением и анализом геометрических фигур. Приводятся примеры задач, направленные на развитие пространственного, аналитического, творческого мышления учеников. Рассматривается вопрос организации работы над ошибками после проведения графической работы, нацеленной на совершенствование умений выполнять построения, ориентируясь на словесное описание комбинаций геометрических фигур.
Ключевые слова: графическая работа, пространственное мышление, геометрическая задача, построение чертежа.

Kolmogorova Dariya Evgenievna
Assistant of the Department of Medical Physics, Amur State Medical Academy; Student, 1st year of the Master's program, Faculty of Physics and Mathematics Education and Technology, Blagoveshchensk State Pedagogical University, Russia, Blagoveshchensk
Ermak Natalia Valentinovna
Cand. Sci (Physical and Mathematical), assistant professor of the Department of Physical and Mathematical Education, Blagoveshchensk State Pedagogical University, Russia, Blagoveshchensk

Abstract: The article discusses the role of graphic work in the development of spatial thinking in schoolchildren. Graphic work is organized as an active process in which students solve various problems related to the construction and analysis of geometric figures. Examples of problems aimed at developing spatial, analytical, and creative thinking in students are given. The issue of organizing work on errors after graphic work aimed at improving the ability to perform constructions, focusing on the verbal description of combinations of geometric figures is considered.
Keywords: graphic work, spatial thinking, geometric problem, construction of a drawing.

Вопрос наглядности в обучении геометрии уже много лет занимает важное место. Обучение школьников тому, как связать текстовую информацию и абстрактные понятия с конкретными предметами, невозможно без постоянного использования наглядных представлений о рассматриваемых объектах в процессе изучения геометрии.

Доказано, что человек получает до 80% информации об окружающем мире через зрительные каналы, что подчеркивает важность качественной визуализации математических концепций на уроках геометрии. Тем не менее, несмотря на активные усилия множества учителей и методистов по улучшению визуальных средств обучения, многие школьники по-прежнему сталкиваются с различными трудностями при работе с геометрическим материалом.

Многие ученые и педагоги, такие как Дорофеев Г.В., Орехов Ф.А., Чуканцов С.М., Шарыгин И.Ф. и др., стремились разработать и исследовать эффективные подходы в обучении геометрическому материалу, среди которых встречается метод графических работ (построение геометрических фигур и их комбинаций при заданном условии).

В школьной практике, часто встречаемая деятельность учеников по изучению чертежей и изображений геометрических фигур – это графическая работа. Ценность такой работы для формирования и развития пространственного мышления отмечала Н.Н. Зепнова: «Пространственное мышление формируется, главным образом, в процессе решения графических задач, где вычисление пространственных соотношений, их преобразование осуществляется уже на основе условнознаковых изображений (рисунков, чертежей, схем и т.п.). В ходе решения таких задач возникает объективная необходимость создания и оперирования пространственными образами, в структуре которых отражены форма, соотношения между объектами геометрического пространства, а также количественные характеристики объектов и проекционные признаки их пространственного размещения» [1].

Под графической работой будем понимать «…вид учебной деятельности школьников под руководством учителя, в процессе которой геометрия изучается путем конструирования и построения геометрических образов, путем учебно-теоретического и практического исследования образовавшихся фигур и соотношений в них» [2].

Графическая работа может быть представлена в виде:

1. задачи, требующей завершение изображения известной фигуры по ее фрагменту. Пример: «На рисунке изображены четыре ребра шестиугольной призмы. Изобразите всю призму (рис. 1)».

Рисунок 1. Иллюстрация к задаче 1

2. задачи, заданной текстовым условием, решением которой будет верно выполненное построение. Пример: «Сделайте чертеж с данными в задаче обозначениями. Плоскость α пересекает три параллельные прямые a, b и c соответственно в точках A, B и C, лежащих на одной прямой».

3. задачи, предусматривающей нахождение графического изображения представленной фигуры из ряда перечисленных. Пример: «Многогранник, изображённый на рисунке (рис. 2), называется пятиугольной антипризмой. Ее основаниями являются пятиугольники, а боковыми гранями − треугольники. Определите на каком рисунке (рис. 3-5) верно выполнен чертёж пятиугольной антипризмы».

4. задачи, направленной на исследование взаимного расположения элементов фигур, опираясь на их изображени. Пример: «Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ (рис. 6). Укажите все верные утверждения:

а) прямая DD₁ пересекается с прямой A₁B₁ в точке E;

б) прямая DD₁ параллельная плоскости AA₁C₁C;

в) прямая DD₁ пересекает плоскость грани BB₁C₁C в точке P;

с) прямые CC₁ и A₁B₁ пересекаются при продолжении ребер CC₁ и A₁B₁»[5].

Рисунок 6. Иллюстрация к задаче 4

5. задачи, на построение графического изображения фигуры в зависимости от заданного ракурса. Пример: «На рисунке прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ расположен сверху и справа (рис. 7). Постройте его изображение так, чтобы наблюдатель видел его: а) сверху и слева; б) снизу и справа; в) снизу и слева».

Рисунок 7. Иллюстрация к задаче 5

6) задачи, на изготовление модели по ее чертежу. Пример: «На рисунке изображена прямая пятиугольная призма (рис. 8). Начертите хотя бы один вариант развёртки призмы и склейте из неё модель многогранника».

Рисунок 8. Иллюстрация к задаче 6

7) задачи, на построение чертежа как изображения предложенной модели. Пример: «На столе стоит правильная пятиугольная пирамида SABCDE. Поверните её так, чтобы грань SBC была расположена слева, а грань SDE справа. Сделайте чертеж пирамиды».

8) задачи, на узнавание и построение чертежа фигуры, которая является комбинацией объемных геометрических фигур. Пример: «Рассмотрите рисунок ниже и определите из каких многогранников была составлена фигура (рис. 9). Как расположены эти многогранники относительно друг друга? Что можно сказать про расположения точек пересечения ребер многогранников? Выполните чертеж фигуры в тетради».

Рисунок 9. Иллюстрация к задачам 8 и 9

9) задачи, требующей построения прямых пересечения заданных фигур. Пример: «Рассмотрите рисунок и определите из каких многогранников была составлена фигура (рис. 9). Выполните чертеж фигуры в тетради. Выделите цветным карандашом прямые, по которым пересекаются грани двух многогранников. Обоснуйте правильность ваших действий».

10) задачи, предполагающей  построение фигур, полученных после разделения исходной фигуры на части. Пример: «Брикет мороженого имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Саша и Маша хотят поделить его на четыре равные части, разрезав его ножом два раза. Сколько способов Вы можете им предложить? Какую форму будет иметь срез (сечение) мороженого в каждом случае? В виде каких многогранников предстанут части брикета? Постройте изображение частей брикета для каждого случая».

Из практического опыта работы приведем пример организации графической работы, представленной в виде набора задач, заданных текстовым условием, решением которых будут верно выполнены построения.

Учитель ставит перед собой цель организовать такую самостоятельную работу школьников, в которой ученик демонстрирует полученные навыки воображения комбинаций геометрических фигур, заданных словесным описанием и построения пространственного изображения на плоскости листа. Школьнику необходимо самостоятельно выполнить построение, опираясь на полученный опыт и теоретические положения, изученные ранее (предполагается похожая работа проделывалась ранее в классе вместе с учителем).

Предложим ряд задач:

Сделайте чертеж с данными в задаче обозначениями:

1. Прямая AN лежит в плоскости α.
2. Прямые МС и МВ пересекают плоскость β в одной и той же точке.
3. Плоскости α и β пересекаются по прямой с, а плоскости α и γ также пересекаются по этой же прямой с.
4. Прямая АВ пересекает плоскость α в точке М.
5. Прямые МС и МВ пересекают плоскость γ в разных точках.
6. Плоскости α и β пересекаются по прямой МР, а α и γ пересекаются по другой прямой МТ.
7. Изобразите прямую l, лежащую в плоскости γ, точки M и N, принадлежащие прямой l, и точку H, не принадлежащую плоскости γ.
8. Изобразите плоскость α, точки C и K, принадлежащие плоскости α, и точку T, не принадлежащую плоскости α. Проведите прямую, проходящую через точки C и K.

Школьникам был предложен ряд задач с формулировкой «Сделайте чертеж с данными в задаче обозначениями». Ниже к каждой задаче размещены вариант верного построения (рис. 10, рис. 13, рис. 17, рис. 21) и несколько изображений школьников с разными допущенными ошибками (рис. 11, рис. 12, рис. 14 − рис. 16, рис. 18 – рис. 20, рис. 22 – рис. 24). Для предотвращения появления в будущем аналогичных ошибок составили ряд вопросов, рассуждая над которыми школьники совместно с учителем анализируя свои работы, самостоятельно могут обнаружить и исправить недочеты. Поскольку все дальнейшее обучение в курсе стереометрии опирается на взаимодействие с объемными фигурами, необходимо опираться на работу с многогранниками как можно чаще при изучении новых тем. Рассматривая теоретический и практический материал первых глав стереометрии, школьники привыкают к изображениям, исключающим несущественные объекты. Например, рассматривая угол между прямой и плоскостью, школьный учебник по геометрии предлагает иллюстрации, состоящие только из рассматриваемой плоскости прямой в дополнение с перпендикуляром, опущенным на эту плоскость и проведенной в плоскости проекцией. В связи с этим предложили ряд задач, по своему содержанию аналогичным перечисленным выше. Отличия состоят лишь в том, что школьнику нужно работать в многограннике, а значит учиться акцентировать внимание на необходимых элементах, игнорируя второстепенные.

Приведем пример заданий по устранению ошибок в построениях.

Задача 4. Прямая АВ пересекает плоскость α в точке М.

Ошибки, которые допускают школьники:

• определение и изображение невидимых частей прямой;
• определение расположения точек;
• определение точки пересечения прямой и плоскости.

Вопросы от учителя по построению:

• Как расположены точки A и B относительно плоскости α?
• Определите, принадлежат ли точки A, B и M плоскости α?
• Можно ли утверждать, что отрезок AM равен MB?
• Всю ли прямую AB видно на чертеже?
• Постройте чертеж так, чтобы наблюдатель видел изображение снизу.

Задача для формирования навыка перехода от изображения плоской фигуры к стереометрическому чертежу.

Дана треугольная пирамида SABC. Можно ли утверждать, что ребро SB пересекается с плоскостью (ABC)? Опишите взаимное расположение ребра CS и плоскости (SAB). В какой точке прямая AB пересекает плоскость (SBC)? Постройте луч SK, пересекающий плоскость (ABC) в точке B. Постройте прямую SM, которая пересекает плоскость (ABC) в точке O, если точка O принадлежит ребру BC.

Задание 5. Прямые МС и МВ пересекают плоскость γ в разных точках.

Ошибки, которые допускают школьники:

• изображение точки M и плоскости γ;
• определение расположения точек B и C;
• расположение прямых MB, MC и плоскости γ;
• изображение невидимых частей прямых;
• определение взаимного расположения прямых.

Вопросы от учителя по построению:

• Можно ли сказать, что точка M принадлежит плоскости γ; не принадлежит плоскости γ?
• Опишите взаимное расположение прямых MB и MC.
• Могут ли точки B и C лежать в плоскости γ? Не принадлежать плоскости γ?
• Вся ли прямая MB видна на чертеже? MC?
• Как расположены плоскости (MBC) и γ? имеют ли они общий элемент?
• Сделайте чертеж так, чтобы точка M находилась выше плоскости; ниже.

Задача для формирования навыка перехода от изображения плоской фигуры к стереометрическому чертежу

Дана шестиугольная пирамида SABCDEF. Запишите любые три прямые, пересекающие основание пирамиды. Запишите любые две прямые, пересекающие плоскость (SEF) и пересекающиеся между собой. Укажите взаимное расположение плоскостей (SFE) и (ABC). Постройте луч SO и две прямые DK и SL, так, чтобы они пересекали плоскость основания пирамиды.

Задание 6. Плоскости α и β пересекаются по прямой МР, а α и γ пересекаются по другой прямой МТ.

Ошибки, которые допускают школьники:

• изображение невидимых частей плоскостей;
• определение нахождения точки M;
• определение взаимного расположения трех плоскостей.

Вопросы от учителя по построению:

• Принадлежат ли точки M и T плоскостям α, β, γ?
• Будут ли пересекаться плоскости α и β? При каком условии плоскости будут параллельны?
• Как могут располагаться плоскости α и β, если точки T и P будут совпадать?
• Приведите пример многогранника, в котором 3 плоскости грани попарно пересекаются. Каким элементом многогранника будет являться точка M ?

Задача для формирования навыка перехода от изображения плоской фигуры к стереометрическому чертежу:

• В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ проведите плоскость γ так, чтобы она пересекала: (DD₁C₁) по прямой CC₁; (ADD₁) по прямой AA₁; (DD₁C₁) по прямой D₁C₁; (ADD₁) по прямой A₁D₁.
• Дана треугольная пирамида SABC. Какая плоскость пересекается с (ABS) по прямой SB; с (ABC) по прямой BC? Проведите плоскость γ так, чтобы она пересекалась с (ABS) по прямой BS, а с (ABC) по прямой SO, где точка O лежит на ребре BC; лежит на ребре AC. Укажите, как будут располагаться γ и (BSC) в обоих случаях.

Задание 8. Изобразите плоскость α, точки C и K, принадлежащие плоскости α, и точку T, не принадлежащую плоскости α. Проведите прямую, проходящую через точки C и K.

Ошибки, которые допускают школьники:

• определение принадлежности прямой плоскости;
• определение принадлежности точки C прямой AB;
• построение отрезка вместо прямой;
• расположение точки C и плоскости.

Вопросы по построению:

• Принадлежит ли прямая AB плоскости α?
• Определите и обоснуйте взаимное расположение прямых: AC и AB, AC и BC, прямой AC и плоскости α, плоскостей (ABC) и α.
• Измените условие задачи так, чтобы плоскости (ABC) и α совпадали.

Задача для формирования навыка перехода от изображения плоской фигуры к стереометрическому чертежу

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ постройте точки M и N на ребрах AA₁ и A₁B₁ соответственно. Проведите прямую, проходящую через точки M и N. Определите взаимное расположение точки C₁ и плоскости (AMN); прямых и плоскостей: MN и (AA₁B), C₁A₁ и (AMN), C₁M и (AA₁B₁), C₁N и (AA₁B₁), C₁N и (A₁B₁C₁). Проведите прямые C₁N и C₁M.

В процессе решения графических задач у учащихся возникает необходимость в создании и использовании пространственных образов. Графическая работа является важным инструментом в изучении геометрии. Она не только способствует формированию пространственного мышления, но и улучшает навыки визуализации, анализа и синтеза геометрической информации, что, в свою очередь, подготавливает учеников к успешному решению более сложных задач.

В статье были произведены попытки акцентировать внимание на необходимость организации постоянной работы по совершенствованию графических навыков школьного коллектива в процессе обучения геометрии. На основе практического опыта проведения таких работ со студентами 1 курса, получающих среднее профессиональное образование, был предложен ряд заданий, заданных текстовым условием, решением которых будут верно выполненные построения. Помимо самих задач, приведено описание способа организации работы над ошибками, а также составлены задачи для формирования навыка перехода от изображения плоской фигуры к стереометрическому чертежу, для решения которых необходимо использовать навыки построения, полученные ранее.

1. Зепнова Н.Н. Развитие пространственного мышления школьников – залог успешного изучения точных дисциплин в вузе./ ВЕСТНИК ИрГТУ №6. 2012. С. 231-237
2. Орехов, Ф. А. Графические лабораторные работы по геометрии : пособие для учителей VI - VII классов / Ф. А. Орехова. Москва : Просвещение, 1964. – 112 с.
3. Ермак, Н. В. Стимулирование пространственного мышления через исследовательский подход: роль лабораторных работ в обучении стереометрии в старших классах / Н. В. Ермак, Д. Е. Колмогорова // Актуальные вопросы математического образования: состояние, проблемы и перспективы развития : Сборник статей по материалам VIII Всероссийской научно-практической конференции с международным участием, Сургут, 10–12 апреля 2024 года. – Сургут: Сургутский государственный педагогический университет, 2024. – С. 27-30.
4. Колмогорова, Д. Е. Применение наглядных средств в процессе обучения стереометрии / Д. Е. Колмогорова // Молодежь XXI века: шаг в будущее : Материалы XXV региональной научно-практической конференции. В 2-х томах, Благовещенск, 22 мая 2024 года. – Благовещенск: Амурская государственная медицинская академия, 2024. – С. 267-268.

Список источников
5. Казаков, В. В. Геометрия. 10 класс : самостоятельные и контрольные работы (базовый и повышенный уровни) : пособие для учителей учреждений общ. сред. образования с рус. яз. обучения / В. В. Казаков, О. О. Казакова. – Минск : Аверсэв, 2020. – 72 с.