Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования) | Мир педагогики и психологии №07 (72) Июль 2022

Математическое моделирование в преподавании теории вероятностей студентам инженерных специальностей

Куликова Ольга Валентиновна
канд. пед. наук, доцент кафедры «Естественнонаучные дисциплины», Уральский государственный университет путей сообщения, РФ, г. Екатеринбург, kulikova@usurt.ru

Аннотация: В статье рассматривается проблема математического моделирования сложных случайных событий при изучении студентами инженерных специальностей теории вероятностей в рамках дисциплины «Математика». Понимание студентами закономерностей случайных явлений всегда вызывает определенные затруднения, так как при их описании используется формально-логический аппарат алгебры событий. Содержательные взаимосвязи элементарных событий отображаются с помощью действий над ними. Автором предложены принципы составления дидактических заданий, которые могут применяться для формирования умений конструировать математические модели сложных случайных событий. Представлен пример преобразования стандартного учебного задания по теории вероятностей в дидактическое задание, позволяющее решать методическую задачу о формировании элементов математического моделирования у студентов вуза.
Ключевые слова: математическое моделирование, теория вероятностей, инженерное образование, дидактические задания, исследовательская деятельность.

Kulikova Olga Valentinovna
Cand. Sci (Pedagogy), associate professor at the Natural Sciences Department, Ural State University of Railway Transport, Russia, Yekaterinburg

Abstract: The article discusses the problem of complex random events mathematical modeling when engineering specialties students study probability theory in the discipline "Mathematics". Students' understanding of the random events regularities always causes certain difficulties, since the formal-logical apparatus of the events algebra is used in their description. Meaningful relationships of elementary events are displayed using actions on them. The author offers the principles of drawing up didactic tasks that can be used to form the skills to design mathematical models of complex random events. An example of the standard educational task transformation on probability theory into a didactic task that allows solving the methodological problem of mathematical modeling forming elements for university students is presented.
Keywords: mathematical modeling, probability theory, engineering education, didactic tasks, research activities.

Введение. Эффективное развитие современного производства связано с умением инженерно-технического персонала использовать в профессиональной деятельности математическое моделирование детерминированных и вероятностных закономерностей с использованием информационных технологий. Это вызывает необходимость дальнейшего совершенствования сферы образования [1] и включения в систему инженерной подготовки изучение математического анализа и теории вероятностей с применением электронных процессоров и систем компьютерной математики входят. Содержание дисциплины «Математика» на инженерных специальностях вуза обязательно включает не только изучение системы теоретических понятий по темам «Линейная и векторная алгебра», «Аналитическая геометрия», «Математический анализ», «Дифференциальные уравнения» [2], «Теория вероятностей» [3, 4], но и совокупность вычислительных компетенций по использованию таблиц Excel и средств Mathcad [5, 6].

Знание системы понятий дифференциального и интегрального исчисления позволяет составлять разнообразные математические модели при решении разнообразных прикладных задач. Изучение теории вероятностей происходит не ранее четвертого семестра после изучения дифференциального и интегрального исчислений, когда в сознании студентов уже сформирована формально-логическая детерминированная картина мира и основы математического моделирования. Освоение в теории вероятностей первой темы «Алгебра событий» вызывает у студентов особые затруднения, так как это требует от них выполнения не формально-логических преобразований, а построение математических моделей на основе результатов содержательного анализа конкретных ситуаций. Знакомство с какими-либо алгебраическими действиями или операциями над  событиями в старших классах школы не предусмотрено программой базового и профильного обучения математике, поэтому выпускники школ испытывают затруднения при вычислении вероятности сложного события, так как не знают и не понимают его структуру.

Развитие в сознании студентов вероятностной картины мира в вузе опирается на некоторую совокупность элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей элементарных событий из школьного курса математики [7, 8]. Существуют определенные методические проблемы, которые вызваны различными объективными и субъективными причинами преподавания этой темы в школе и на подготовительных курсах для сдачи единого государственного экзамена [9]. Успешное изучение теории вероятностей в вузе неразрывно связано с пониманием математического моделирования сложных событий и умением составлять расчетные формулы их вероятности на основе теорем и аксиом алгебры событий.

Методы исследования. Педагогическое собеседование со студентами перед началом изучения теории вероятностей показывает, что они очень слабо ориентируются в понимании сложных случайных событий и явлений. Проблемно-ориентированный анализ учебно-методического обеспечения вузовского курса теории вероятностей выявил не только широкий спектр разноуровневых и вариативных заданий, направленных на формирование знаний понятий теории вероятностей и освоений умений использовать известные формулы, но и отсутствие дидактических заданий на развитие умений конструировать математические модели сложных событий. Дидактическое моделирование заданий, требующих выполнение определенных учебных действий, позволяет решить методическую задачу о формировании умений конструировать математические модели случайных событий.

Экспериментальная часть. При составлении системы дидактических заданий по математическому моделированию случайных событий можно придерживаться следующих принципов: 1) постепенное увеличение количества элементарных событий в структуре сложного события; 2) последовательный переход от составления формулы вероятности события в общем виде к вычислению вероятности события для конкретных начальных данных; 3) варьирование значений начальных данных.  Рассмотрим на простом примере преобразование стандартного тренировочного задания в дидактическое задание, направленное на решение отмеченной выше методической задачи.

Тренировочное задание. В первой коробке находится три белых и четыре черных шара, а во второй коробке – пять белых и семь черных шаров. Наудачу из первой коробки достают один шар и перекладывают во вторую коробку. Найдите вероятность извлечения белого (черного) шара из второй коробки.

Решение представленного тренировочного задания опирается на применение формулы полной вероятности. Студентам необходимо выполнить следующие действия: 1) зафиксировать событие, вероятность которого необходимо найти; 2) сформулировать две гипотезы (переложили из первой коробки во вторую белый шар и переложили из первой коробки во вторую черный шар); 3) записать расчетную формулу и произвести вычисления. В этом случае у студентов отсутствует возможность применять математическое моделирование для описания конкретной ситуации, у них формируются только вычислительные навыки и тренируется память, если они не используют электронные ресурсы своих смартфонов, что встречается, к сожалению, крайне редко. Использование каких-либо средств вычислительной техники в этом случае практически не требуется.

Дидактическое задание. В первой коробке находится k₁₁ белых и k₁₂ черных шара, а во второй коробке – k₂₁ белых и k₂₂ черных шаров. Наудачу из первой коробки достают один шар и перекладывают во вторую коробку. После этого из второй коробки извлекают наудачу один шар.

1. Составьте формулы для таких событий как достали белый шар из второй коробки и достали черный шар из второй коробки.
2. Определите формулы для нахождения вероятности извлечения белого шара из второй коробки и извлечения черного шара из второй коробки.
3.  Задумайте четыре числа k₁₁, k₁₂, k₂₁ и k₂₂ и вычислите вероятности таких событий как извлечение белого шара из второй коробки и извлечение черного шара из второй коробки.
4. Составьте формулы рассматриваемых событий, если из первой коробки во вторую переложили два шара. Вычислите для уже выбранных вами значений k₁₁, k₁₂, k₂₁ и k₂₂ вероятность извлечения белого шара из второй коробки и вероятность извлечения черного шара из второй коробки, если до этого из первой коробки во вторую переложили два шара.
5. Определите формулы таких событий как извлечение двух шаров одного цвета из второй коробки и извлечение двух шаров разного цвета из второй коробки, если до этого из первой коробки во вторую переложили наудачу тоже два шара. Вычислите вероятность извлечения двух шаров одного цвета из второй коробки и вероятность извлечения двух шаров разного цвета из второй коробки.

При выполнении представленного дидактического задания студентам необходимо: 1) зафиксировать рассматриваемые события; 2) сформулировать две гипотезы (переложили из первой коробки во вторую белый шар и переложили из первой коробки во вторую черный шар); 3) составить формулы сложных событий; 4) определить формулу для вычисления вероятности сложного события в общем виде; 5) придумать числовые значения начальных данных в задаче и произвести необходимые вычисления. Методически создается учебная ситуация, в которой деятельность студента существенно обогащается. В процессе решения создаются разнообразные математические модели, что позволяет организовать эвристическую беседу со студентами. При проведении вычислений в этом случае целесообразно использовать математические функции Excel, что позволяет сконцентрировать внимание и усилия на результатах анализа алгебраических преобразований, а не вычислительных процедур.

Вывод. Включение в процесс изучения теории вероятностей отмеченных выше дидактических заданий обеспечивает более глубокое освоение студентами ее понятийного аппарата и повышает познавательный интерес к интеллектуальной деятельности. Овладение студентами методами математического моделирования вероятностных закономерностей позволяет существенно расширить пространство исследовательской деятельности. Выполнение операций перекодирования вербальной информации в знаково-символьную форму математических моделей способствует активизации мыслительной деятельности и развитию культуры мышления студентов [10].

1. Ерофеева Л.Н., Лещева С.В., Сухов В.И. Размышления об образовании... В будущем и настоящем // Актуальные проблемы преподавания математики в техническом вузе. – 2019. – № 7. – С. 126-132. – DOI 10.25206/2307-5430-2019-7-126-132.
2. Бондарева Е.В. Об использовании прикладных задач в курсе "Дифференциальные уравнения" для студентов прикладных физико-математических направлений // Мир педагогики и психологии. – 2021. – № 2(55). – С. 11-16.
3. Аристова Е.Ю. Методика преподавания курса "теория вероятностей и математическая статистика" в техническом вузе // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. – 2015. – № 12-4. – С. 64-66.
4. Полякова, Т. А. Реализация прикладной направленности обучения теории вероятностей и математической статистике в техническом вузе // Инновационное лидерство строительной и транспортной отрасли глазами молодых ученых : Сборник научных трудов молодых ученых по материалам Международной научно-практической конференции, Омск, 03–07 февраля 2014 года / Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ); Председатель Редакционного совета Кирничный В.Ю.. – Омск: ФГБОУ ВПО "Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ)", 2014. – С. 259-262.
5. Архангельский А.И., Берков Н.А., Архангельская М.В. Преподавание теории вероятностей и математической статистики с применением пакетов компьютерной алгебры // Наука, техника, педагогика. Новые технологии высшей школы : Материалы Всероссийской научно-практической конференции, Москва, 26 февраля 2019 года. – Москва: федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Московский политехнический университет", 2019. – С. 262-266.
6. Куликова О.В. Имитационное моделирование независимых повторных испытаний средствами Mathcad в учебном процессе вуза // Современные проблемы науки и образования. – 2013. – № 3. – С. 225.
7. Колокольникова Н.А. О преподавании теории вероятностей (из опыта работы) // Проблемы учебного процесса в инновационных школах : Сборник научных трудов / Под редакцией О. В. Кузьмина. – Иркутск : Иркутский государственный университет, 2019. – С. 101-108.
8. Виноградов, О. П. Теория вероятностей и ЕГЭ // Математическое образование. – 2020. – № 2(94). – С. 29-31.
9. Батурина Р.В., Садовникова Ю.А., Бешанов С.В. Некоторые проблемы соответствия уровня подготовки абитуриентов содержанию дисциплины "математика" в техническом вузе // Международный научно-исследовательский журнал. – 2017. – № 12-1(66). – С. 84-87. – DOI 10.23670/IRJ.2017.66.076.
10. Куликова О.В. Культура мышления и критерии развития ее компонентов в учебном процессе вуза : монография / Федеральное агентство железно-дорожного транспорта, Уральский государственный университет путей сообщения. – Екатеринбург : Уральский государственный университет путей сообщения, 2010. – 112 с. – ISBN 978-5-94614-182-6.