Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования) | Мир педагогики и психологии №05 (46) Май 2020

Использование исторических сведений об алгоритмах выполнения арифметических действий на уроках математики в начальной школе

Захарова Нина Дмитриевна
студентка бакалавриата, Калужский государственный университет им. К.Э. Циолковского, РФ, г. Калуга, dzahar3006@mail.ru
Научный руководитель Чиркова Наталья Ивановна
доцент кафедры теории и методики дошкольного, начального и специального образования, кандидат педагогических наук, Калужский государственный университет им. К.Э. Циолковского, РФ, г. Калуга, nichirkova@mail.ru

Аннотация: В статье раскрывается образовательный потенциал использования ис-торических сведений об алгоритмах выполнения письменных арифметиче-ских действий на уроках математики в начальной школе. Приводятся приме-ры алгоритмов письменных вычислений, которые использовались несколько столетий назад в нашей стране, в других государствах. Автор обосновывает мысль о том, что использование историко-математического материала поз-волит заинтересовать ученика предметным содержанием, расширит его кру-гозор, позволит снять возникающие трудности в процессе обучения, создаст условия для развития самостоятельности суждений.
Ключевые слова: младший школьный возраст, историко-математические сведения, алгоритми-ческая культура, вычислительная деятельность, алгоритмы письменных вы-числений.

Zakharova Nina Dmitrievna
undergraduate student, Kaluga State University named after K.E. Tsiolkovsky, RF, Kaluga
Scientific supervisor Chirkova Natalya Ivanovna
associate professor, department of theory and methods of preschool, primary and special education, candidate of pedagogical sciences, Kaluga State University named after K.E. Tsiolkovsky, RF, Kaluga

Abstract: The article reveals the educational potential of using historical information about algorithms for performing written arithmetic actions in mathematics les-sons in primary school Examples of algorithms for written calculations that were used several centuries ago in our country and in other countries are given. The author substantiates the idea that the use of historical and mathematical material will interest the student in the subject content, expand his horizons, remove diffi-culties in the learning process, create conditions for the development of inde-pendent judgments.
Keywords: primary school age, historical and mathematical information, algorithmic culture, computing activity, algorithms for written calculations

В соответствии с действующим Федеральным государственным образовательным стандартом начального общего образования (ФГОС НОО) [1] учащиеся начальной школы должны научиться выполнять действия с числами и числовыми выражениями. Эта общая цель формирования вычислительного навыка конкретизирована в Примерной основной образовательной программе начального общего образования (ПООП НОО) [2] следующим образом. «В результате изучения курса математики обучающиеся на уровне начального общего образования научатся выполнять устно и письменно арифметические действия с числами…» При этом выпускник начальной школы

«научится:

• выполнять письменно действия с многозначными числами (сложение, вычитание, умножение и деление на однозначное, двузначное числа в пределах 10 000) с использованием таблиц сложения и умножения чисел, алгоритмов письменных арифметических действий (в том числе деления с остатком);

получит возможность научиться:

•  выполнять действия с величинами;

• использовать свойства арифметических действий для удобства вычислений;

• проводить проверку правильности вычислений (с помощью обратного действия, прикидки и оценки результата действия и др.)» [2].

Формирование представлений о натуральных числах начинается уже в дошкольном возрасте [3] и систематизируется в начальной школе: образование числа, место числа в натуральном ряду чисел, разрядный и десятичный состав натурального числа, сравнение чисел, арифметические действия над ними [4]. Существенное внимание уделяется формированию навыка выполнять письменные вычисления с помощью специальных алгоритмов: сложение, вычитание, умножение «столбиком», деление «уголком». Каждый используемый вычислительный прием является по своей сути алгоритмом, а само же вычисление будет алгоритмическим процессом.

Осознанное неформальное освоение учениками этих алгоритмических действий – отдельных шагов алгоритма – позволяет им достаточно быстро и эффективно получить правильный результат. Однако успешность овладения учащимися письменными вычислениями не может быть «объективным критерием успешности усвоения ими начального курса математики» [5, с. 101].

Сложность освоения данных алгоритмических действий обусловлена тем, что, как правило, в процессе обучения не затрагивается вопрос о том, на чем основываются эти способы вычисления, почему последовательность действий должна быть именно такой, существуют ли иные алгоритмы вычислений?

Ответ на последний вопрос можно получить, обратившись к истории математики, которая показывает, что в процессе развития человечества математические представления людей и арсенал используемых вычислительных алгоритмов и инструментов постоянно расширялись, более простые алгоритмы приходили на смену сложным и трудоемким.

В работах Бобынина В.В., Дробышева Ю.А. и др. отмечается актуальность генетического подхода в изучении математики, то есть формирование математических знаний у школьников должно идти тем же путем, каким развивалась и сама математика  [6]. Это правомерно не во всех ситуациях, однако обращение к историко-математическим сведениям на уроке (принцип историзма) позволяет решать широкий круг образовательных задач: от мотивации и формирования познавательного интереса до более глубоко понимания самой математики. Значимую роль тесное сплетение истории математики с систематическим её изложением играет и в решении воспитательных и развивающих задач [7, 8, 9, 10, 11, 12, 13].

Знакомство с алгоритмами письменных вычислений, которые использовали наши предки, либо представители других народов, также способно обогатить личность ученика в разных аспектах. Выявление образовательного потенциала данного исторического материала и составляет цель представленного в данной статье исследования.

По мнению С.П. Баранова, ученик, «запоминая правила и тексты учебника, объяснения учителя, повторяя готовые формулировки, … не разделяет информацию по степени самостоятельности мысли» [14, с. 22]. Имея чувственный опыт познания, школьник гораздо больше видит и знает, но не может это выразить в силу формально-логического подхода в обучении и соответствующего построения своей мысли [15]. Получая опыт знакомства с разными историческими алгоритмами письменных вычислений, то есть теми алгоритмами, которые использовали люди в другие периоды и которые в современной практике не изучаются и не применяются, дети видят вариативность способов движения мысли и расширяют свой кругозор.

Методически такой подход тоже оправдан, поскольку большинству младших школьников трудно проводить рассуждения общего характера, следовательно, строгое логическое обоснование письменных алгоритмов навряд ли будет понятно большинству учащихся.

Приведем исторические сведения, которые можно использовать на уроках математики в начальной школе при изучении алгоритмов письменных вычислений.

Сложение в «Арифметике» Л.Ф. Магницкого

«Всегда яко случится тебе перечень с перечнем сложить, или совокупить, дабы из двух перечней един был, и ты пиши так: выше одного перечня первые числа с правой руки против первых же чисел другого перечня были под ними, или над ними

и слагай первые числа у правой руки обоих перечней, так 2 и 6 будет 8, его напиши под чертою против первых чисел у правой руки под 6-ю

потом возьми числа подле прежних стоящих, то есть 3 и 4, им же сложенных, как и прежних, т.е. 7, поставь под чертою подле 8, к левой руке под 4

и будет нижний перечень окончен: верхнее же третье число остаточное, положи под чертою подле 7 без сложения и будет из двух перечней всего 578.

Когда же случается тебе сложить три перечня в один, якоже 578, 402 и 396 и ты также поставь перечни прямо числа под числами

и прочерти под ними черту и сложи 8, 2 и 6, итого 16. Напиши 6 под чертою против 6

гляди же один в уме и 7 верхнего перечня и 9 нижнего и соберется всего 17 и ниже 7 напиши подле 6 к левой руке под 9-ю, а десяток в уме держи за один

как и прежде собирай во едино: один, что в уме, 5 верхнего перечня, 4 среднего, 3 нижнего; всего будет 13. У них же 3 напиши подле 7 к левой руке под 3-ю, а десяток напиши подле 3 к левой руке

и будет всего сложено из трех перечней 1376» [16, с. 68-70].

Анализируя алгоритм сложения из Арифметики Л.Ф. Магницкого важно показать роль и значение первого отечественного учебника математики для русской математической культуры, воспитательный потенциал личности автора книги, пути использования историко-математических сведений в учебно-воспитательном процессе и пр. [17].

Умножение и деление

Простейшее приспособление для выполнения умножения и деления многозначных чисел придумал Джон Непер (1550-1617), шотландец по происхождению. Это набор из нескольких полосок (названные впоследствии палочками Непера), на которых изображены цифры, как указано на рисунке 1, а: сверху каждой полоски стоит цифра от 0 до 9, а ниже, в клеточках, разделенных диагональю, записаны все произведения этих цифр на все однозначные числа. При этом цифра десятков двузначного произведения стоит в клетке слева, выше цифры единиц произведения, т.е. цифра десятков, стоит над диагональю клетки, а цифра единиц произведения – под диагональю той же клетки. Для выполнения действий умножения или деления может потребоваться несколько одинаковых полосок.

     а                                                             б 

Рисунок 1. 

Умножим число 6723 на однозначное число. Берем палочки Непера с цифрами сверху 6, 7, 2, 3 (рис. 1, б), т.е. шестую, седьмую, вторую, третью палочки, и кладем их рядом. Тогда произведение числа 6724, например, на 4 читается справа налево по горизонтальной линии, стоящей под номером 4. При этом произведение состоит из таких цифр (указаны стрелкой в направлении диагонали): 2 единиц, 8+1=9 десятков, 8+0=8 тысяч, 4+2=6 десятков тысяч, 2 сотен тысяч. Таким образом, 6723 4=26892 [18, с. 154] .

Умножение по-японски

Для умножения чисел воспользуемся графической моделью. Например, надо перемножить двузначные числа. Умножим 27 на 43. Процесс умножения смоделируем на горизонтальных и вертикальных линиях. Изобразим число 27 по горизонтали, а число 43 по вертикали. При этом линии десятков (красные линии) и линии единиц (синие линии) нарисуем на некотором расстоянии. Получается вот такая модель:

Теперь считаем точки пересечения линий. Сначала точки в левом верхнем углу. 

Их 8.

Дальше считаем общее количество точек левого нижнего и правого верхнего углов. Получается 34.

Теперь считаем точки в правом нижнем углу. Их 21.

Числа записываем друг под другом, начиная с больших разрядов: 8 ставим на первое место в первой строке. Во второй строке пишем 36 так, чтобы число 3 было под числом 8. Под числом 36 должна начитаться запись третьего числа 021. Получается такая запись:

Выполняем сложение, начиная с меньших разрядов.

Получаем число 1161. Значит, 27х43=1161.

Этот способ удобен для умножения двузначных чисел с количеством разрядных единиц от 1 до 5. Умножение больших чисел требует сосредоточенности и внимания.

Приведенные алгоритмические действия для выполнения письменных вычислений целесообразно использовать на обобщающих уроках. Это вызовет интерес учащихся к вычислительным действиям, что может стать основой их самостоятельной исследовательской деятельности. Использование исторических математических сведений позволит заинтересовать ученика предметным содержанием, расширит его кругозор, позволит снять возникающие трудности в процессе обучения, создаст условия для развития самостоятельности суждений.

1. Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего об-разования. URL: https://fgos.ru/ (Дата обращения: 10.04.20)
2. Примерная основная образовательная программа начального общего образования. URL: http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_220258/ (Дата обращения: 18.04.20)
3. Павлова О.А., Демидова А.П. К вопросу об особенностях формирования представ-лений о числе и счете у дошкольников с общим недоразвитием речи // Гуманизация образо-вания. 2019. № 2. С. 74-83.
4. Чиркова Н.И., Павлова О.А. Формирование математических понятий у младших школьников // Стандарты и Мониторинг в образовании. 2018. № 2 (март – апрель). С. 52-56.
5. Чекин А.Л. Письменные вычисления: актуальность или дань традиции? // Началь-ная школа. 2009. № 1. С. 100-102.
6. Дробышев Ю.А. О решении проблемы использования генетического метода в обу-чении учащихся математике в работах В.В. Бобынина // Вестник Северного (Арктического) федерального университета. Серия: Гуманитарные и социальные науки. 2010. N4. C. 129-135.
7. Дробышев Ю.А. Историко-математическая компетентность: понятие и структура // Актуальные проблемы математического образования Материалы Международной научно-практической конференции, посвящённой 25-летию факультета математики и информатики. 2015. С. 97-100.
8. Павлова О.А. Использование регионального материала при решении воспитатель-ных задач средствами истории математики // Математика в школе. Электронное периодиче-ское издание. 2017. № 4. С. р_5.
9. Павлова О.А. Историзация как средство нравственного воспитания при обучении математике // Математика в школе. 2016. № 3. С. 26-31.
10. Павлова О.А. Нравственное воспитание учащихся в процессе предметного обучения (на примере уроков математики) // Воспитание школьников. 2016. № 4. С. 35-43.
11. Павлова О.А. Патриотическое воспитание в обучении математике и в подго-товке будущего учителя математики // Воспитание школьников. 2019. № 3. С. 35-42.
12. Павлова О.А., Чиркова Н.И. Сведения из истории развития науки как средство формирования личности будущего гражданина (на примере математики) // Эффективные модели психолого-педагогического и методического сопровождения внедрения Федераль-ного государственного образовательного стандарта начального общего образования матери-алы региональной научно-практической конференции. Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, Арзамасский фили-ал. 2016. С. 143-147.
13. Чиркова Н.И. Воспитательный потенциал исторического материала на уроках математики // Научные труды Калужского государственного университета им. К.Э. Циол-ковского. Серия: Психолого-педагогические науки. 2017. – Калуга: Издательство КГУ им. К.Э. Циолковского, 2017. 332 с. С. 105-111.
14. Баранов С.П., Чиркова Н.И. Развитие логики мышления младших школьников // Начальная школа. 2006. № 12. С. 22 – 25.
15. Чиркова Н.И. Роль логических высказываний в освоении знаний школьника-ми // Вестник Московского государственного областного университета. Серия «Философ-ские науки». 2006. № 4. С. 126 – 132.
16. Арифметика Магницкого. Точное воспроизведение подлинника. С приложе-нием статьи П. Баранова (биографические сведения о Магницком и историческое значение его Арифметики). М.: Издание П. Баранова, 1914.
17. Чиркова Н.И. Возможности арифметики Л.Ф. Магницкого в стимулировании профессионального саморазвития будущих учителей // Профильная школа. 2020. №2.
18. Брадис В.М. Устный и письменный счет. Вспомогательные средства вычисле-ний / Энциклопедия элементарной математики. Т.1. М., 1951.