Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования) | Мир педагогики и психологии №10 (99) Октябрь 2024

Типичные ошибки в решении задач по теме «Производная функции одной переменной»

Полехина Галина Евгеньевна
кандидат педагогических наук, доцент, доцент кафедры ФН11 Московского государственного технического университета им. Н. Э. Баумана, Россия, г. Москва, доцент кафедры Высшей математики Академии ГПС МЧС России, Россия, г. Москва. :e-mail: polekhina_ge@mail.ru
Полехина Ксения Александровна
студентка 2 курса магистратуры кафедры ИУ8 Московского государственного технического университета им. Н. Э. Баумана, Россия, г. Москва. :e-mail: polekhina01@mail.ru

Аннотация: В статье анализируются типичные ошибки, которые студенты допускают при изучении темы "Производная". Рассматриваются примеры неверного применения формул дифференцирования, в том числе для сложных, степенных и показательных функций. Авторы выявляют системные ошибки, связанные с механическим использованием формул и недостаточными знаниями элементарной математики. В статье предлагаются рекомендации по предотвращению ошибок и рациональному решению задач.
Ключевые слова: Функция, производная, формула, дифференцирование, логарифмирование, экстремумы, монотонность, производная, дифференцирование, сложные функции, типичные ошибки.

Polekhina Galina Evgenievna
Candidate of Pedagogical Sciences, Associate Professor, Associate Professor at the Department of FS11 of the Bauman Moscow State Technical University, Russia, Moscow, Associate Professor at the Department of Higher Mathematics of the Academy of the State Fire Service of the Ministry of Emergency Situations of Russia, Russia, Moscow
Polekhina Ksenia Alexandrovna
2nd year graduate student at the Department of IU8 of the Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia

Abstract: The article analyzes common mistakes made by students when studying the topic of "Derivative." Examples of incorrect application of differentiation formulas, including those for complex, power, and exponential functions, are discussed. The authors identify systematic errors related to the mechanical use of formulas and insufficient knowledge of elementary mathematics. The article provides recommendations for avoiding mistakes and solving problems more rationally.
Keywords: Function, derivative, formula, differentiation, logarithm, extremes, monotony, derivative, differentiation, complex functions, typical errors.

Введение

Опыт проверки контрольных работ, проведения практических занятий, приема экзаменов показывает, что многие ошибки носят систематический характер [1]. Часто задачи решаются нерационально.

При демонстрации ошибок, как правило, вскрываются причины их появления и наряду с ошибочными решениями задач приводятся правильные [2]. Это главным образом относится к наиболее распространенным ошибкам.

При нахождении производных допускается много ошибок [3]. Понятие производной является очень важным. С помощью производной формулируется много понятий математического анализа. Студент должен знать определение производной, правила дифференцирования. Но этого недостаточно. Решение задач требует от студента знаний и по элементарной математике.

Основная часть

Довольно распространенными являются ошибки, появляющиеся в результате применения формул производных, выраженных через независимую переменную x [4, 5].

Пример 1. Найти производную от функции y=cos 2x

Студенты допускали запись y'= - sin 2x

Причина появления ошибки - механическое использование формулы (cos x)' = - sin x

Пример 2. Найти производную от функции y= sin⁴ x

Записывался ответ  y' = 4sin³ x

Такой ответ мог получиться лишь при применении формулы (x^a)' = a ^. x^a-1

Или y'=4sin3 x

Такой ответ мог получиться лишь при применении формулы

Пример 3. Найти производную от функции y=e^3x

Приводилось решение  y'=e^3x

Очевидно, формально применена формула (e^x)' = e^x

Чтобы избежать ошибок, целесообразно пользоваться формулами производных от сложных функций.

Чтобы избежать ошибок, допущенных в решении вышерассмотренных примеров, следовало пользоваться формулами 7, 1 и 3 соответственно. Тогда ошибки были бы исключены. Действительно,

Обычно данная функция, от которой требуется найти производную, не приводится к виду, удобному для дифференцирования, а если эта операция и выполняется, то часто допускаются ошибки вследствие слабых знаний элементарной математики.

Слабое знание формул дифференцирования и поверхностное понятие о степенной и показательной функциях зачастую приводит к ошибкам при нахождении производных от показательных функций.

Пример. Найти производную функции y=3^2x-4

Приводилось решение y'=(2x-4) ^. 3^2x-5

Пример. Найти производную функции y=8^sinx

Ответ записывался в виде y'=sin x^.8^sinx-1

Как видно из приведенных примеров, производные находились по формуле производной степени, а не показательной функции.

Приведем правильные решения.

Нередко производная от сложной показательной функции находится как производная от степенной или показательной функции.

Пример. Найти производную функции y=x^sinx

Допускались записи:

Часто забывают, что при нахождении производной не всегда выгодно предварительно логарифмировать данную функцию. Метод логарифмического дифференцирования удобен главным образом для нахождения производных от сложных показательных функций. Кстати заметим, что студенты, применяя упомянутый метод, допускают много ошибок при логарифмировании функций.

В большинстве случаев исследование функций на максимум и минимум ведется с помощью первой производной от данной функции. Нахождение же экстремумов функции с помощью второй производной, если она в критических точках не обращается в нуль, обычно гораздо проще и удобнее. Кроме того, при исследовании функции на максимум и минимум с помощью первой производной допускаются ошибки при определении знаков производной слева и справа от критической точки. Причина этих ошибок кроется в слабом знании элементарной математики.

При нахождении наибольшего (наименьшего) значения функции не всегда принимается во внимание область задания функции. Иногда пытаются находить наибольшее (наименьшее) значение функции без применения дифференциального исчисления. Довольно часто забывают вычислять значения функции на концах отрезка.

Исследование функций не всегда выполняется рационально.

Пример. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции

Во-первых, здесь выгоднее находить экстремумы функции с помощью первой производной, т.к. заранее можно предвидеть, что нахождение второй производной потребует выполнения множества математических операций. Из первой производной видим, что на ее знак влияет только знак числителя.

Выводы

В данной работе рассмотрены некоторые типичные ошибки, допускаемые учащимися при изучении темы «Производная», их объяснение, меры их предупреждения. Хорошо организованная преподавателем работа учащихся над типичными ошибками приводит к улучшению результата обучению математики и развитию ряда показателей логического мышления.

1. Тулис, М., Штойер, Г., Дрезель, М. Обучение на ошибках: модель индивидуальных процессов // Frontline Learning Research. 2016. Том 4, №2. DOI: http://doi.org/10.14786/flr.v4i2.168
2. Раштон Ш. Обучение и преподавание математики через анализ ошибок // Fields Mathematics Education Journal. 2018. Том 3, №1. DOI: http://doi.org/10.1186/s40928-018-0009-y
3. Зарит София бинти Осман, Ахмад Худзаири бин Халид, Аиша бинти Махат. Студенческие ошибки в базовых темах дифференцирования // AIP Conference Proceedings. 2018. Том 1974. Статья 050009. DOI: https://doi.org/10.1063/1.5041709
4. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. 22-е изд., перераб.// СПб.:2001.-432 с.
5. Шипачев В.С. Высшая математика: учебник для вузов// М.: Высшая школа, 2008. - 479 с.