Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования) | Мир педагогики и психологии №05 (58) Май 2021

УДК 372.851+ 159.955

Дата публикации 31.05.2021

Специфика развития математического мышления и некоторые аспекты применения учебных моделей в дидактике математики

Репринцева Галина Анатольевна
канд. психол. наук, заведующий лабораторией кафедры естественно-математического и технологического образования, Белгородский институт развития образования, РФ, г. Белгород

Аннотация: В статье анализируются проблемы развития математического мышления школьников в логике перехода от эмпирического мышления к теоретическому и обсуждается роль учебных моделей, используемых в преподавании математики в школе. Высказывается мнение о необходимости дальнейших исследований в данном направлении с учетом возрастных и индивидуальных возможностей обучающихся и логики развития математических понятий во взаимосвязи алгебры и геометрии. По мнению автора, «визуализация» алгебраических объектов в геометрических структурах может позволить школьникам «свободнее» оперировать математическими понятиями, «четче видеть» закономерности и их взаимосвязи. Для содействия переходу от эмпирического мышления к уровню теоретического требуется предоставить такие средства обучения, которые бы позволяли выполнять с ними исследовательский действия достаточной степени обобщенности и научности, что возможно при использовании именно учебных моделей, выступающих заменителями объекта изучения и отражающими существенные свойства математического объекта в определенной логике: вещественная (материализованная) модель – знаково-символическая (графическая) модель – знаковая (описательная) модель.
Ключевые слова: математическое мышление, учебные модели, обучение школьников математике, связь алгебры и геометрии, дидактические принципы.

The specifics of developing mathematical thinking and some aspects of the application of didactic models in teaching mathematics

Reprintseva Galina Anatolyevna
Cand. Sci. (Psych.), Head of the laboratory of the Department of natural-mathematical and technological education, Belgorod Institute of Education Development, Russia, Belgorod

Abstract: The article analyzes the problems of the development of mathematical thinking of schoolchildren in the logic of the transition from empirical thinking to theoretical thinking and discusses the role of didactic models used in teaching mathematics at school. The opinion is expressed about the need for further research in this direction, taking into account the age and individual capabilities of school students and the logic of the development of mathematical concepts in the relationship between algebra and geometry. According to the author, the «visualization» of algebraic objects in geometric structures can allow students to «more freely» operate with mathematical concepts, «more clearly see» patterns and their relationships. To facilitate the transition from empirical thinking to the level of theoretical thinking, it is necessary to provide such teaching tools that would allow performing research actions with them of a sufficient degree of generality and science, which is possible when using named models that act as substitutes for the object of study and reflect the essential properties of the mathematical object in a certain logic: a real (materialized) model – a sign-symbolic (graphic) model – a sign (descriptive) model.
Keywords: mathematical thinking, didactic models, teaching school students mathematics, the connection between algebra and geometry, didactic principles.

Исследования математического мышления традиционно актуальны в контексте подготовки обучающихся на разных уровнях образования, о чем свидетельствует анализ диссертационных исследований 1995 - 2021 годов: изучаются психолого-педагогические условия развития математического мышления учащихся основной школы (Д.Д. Рыбдылова, 1997; О.В. Охтеменко, 2001; Т.А. Безусова, 2006), студентов вузов (М.А. Незнамова, 2003), старшеклассников (Н.В. Ширяева, 2006; Е.Н. Барашко, 2014) [1-6]. Исследуются отдельные компоненты математического мышления обучающихся: логическое мышление школьников (Е.А. Хотченкова, 2006; В.Н. Моисеева, 2010), эвристическое и логическое мышление старшеклассников (Н.П. Алешина, 2008), комбинаторное мышление младших школьников и подростков (Л.В. Евдокимова, 2006), конструктивно-логическое мышление студентов (С.Ю. Купчинаус, 2006), эвристическое мышление студентов (М.М. Фоминых, 2006) [7-12].

Математическое мышление понимается авторами как составная мышления «вообще», которая приобретает специфические черты, в связи с оперированием особыми предметами познания – математическими конструктами разной степени сложности и разного уровня абстрагирования. «Самым низким уровнем абстракции является конкретная вещь, воспринимаемая органами чувств (данный шарик, именно этот термометр …). Более высоким уровнем абстракции является понятие родовой сущности вещи («термометр вообще»). Следующий уровень соответствует использованию в своих рассуждениях идеализированных моделей (капельная модель ядра). Наибольшую степень абстрактности имеют математические модели (число 5, прямой угол, график колебаний)» [13]. Поэтому закономерно исследователями (Р. Атаханов, 1992; Д.Д. Рыбдылова, 1997 и др.) подчеркивается роль перехода от эмпирического мышления к теоретическому мышлению в процессе развития математического мышления и становления его продуктивности (самостоятельности и творчества субъекта математической деятельности) [14; 1]. Исходя из вышесказанного, особого внимания, с нашей точки зрения, заслуживает работа А.Ю. Шварц «Роль чувственных представлений в овладении математическими понятиями» (2011), в которой подчеркивается важность методического сопровождения визуализации при преподавании математики для грамотной реализации принципа наглядности [15].

Описывая психолого-педагогические условия развития математического мышления, исследователи указывают на важность выбора учебных моделей, описывающих объективную реальность с точки зрения математической науки, и их соответствие возрастным познавательным возможностям обучающихся, подчеркивают значимость исследований и экспериментирования в процессе освоения содержания математического понятий и закономерностей для развития продуктивного мышления. Авторы единодушны в том, что от дидактического мастерства педагогов зависит характер учебно-исследовательской математической деятельности учащихся и, соответственно, достигнутый образовательный результат. При этом необходимо учесть особенности не только одаренных детей, но и тех, кому требуется индивидуальная помощь в освоении математического учебного материала (акцент на особое внимание к отстающим обучающимся представлен в Концепции развития математического образования в Российской Федерации, утвержденной распоряжением Правительства Российской Федерации в декабре 2013 г.).

В условиях информационного общества и возрастающей учебной нагрузки значительная часть обучающихся испытывает трудности в освоении математики в школе, о чем свидетельствуют результаты опросов и контрольных срезов [16]; трудности вызывают задачи, требующие понимания, интерпретации, распознавания стандартных вопросов в измененной формулировке. Проблема, с нашей точки зрения, в значительной степени связана с теми учебными моделями, которые используются в преподавании математики и стратегиями их использования в учебно-исследовательской деятельности (либо игнорировании таких стратегий с преимущественной опорой на применение мнемонических приемов в обучении школьников).

Какими же характеристиками должны обладать учебные модели?  Учебная модель отличается от модели, используемой в научном познании; учебная модель по Салминой Н.Г.: 1) есть заменитель объекта изучения; 2) находится в определённом отношении соответствия изучаемому объекту; 3) работая с ней учащиеся получают новые знания, которыми они не владели раньше, хотя эти знания не новые (объективно). Н.Ф. Талызина уточняет: «Выбор той или иной модели определяется целью обучения…, между моделью и моделируемым предметом должно быть взаимно-однозначное соответствие в отношении тех свойств, которые составляют объект усвоения» [17, с.18]. Развитие ясности и гибкости математического мышления требует формирования базовых знаний, интегрирующих алгебру и геометрию в исторически сложившихся смысловых «концентрах», таких как, например, тригонометрия. «Визуализация» алгебраических объектов в геометрических структурах позволяет «свободнее» оперировать математическими понятиями, «четче видеть» закономерности и их взаимосвязи. Чтобы обеспечить понимание математических закономерностей и развить умение выявлять их при решение практических задач, необходимо подобрать такие математические модели, которые были бы, с одной стороны, лаконично отражали существенные свойства математических объектов, с другой стороны, позволяли осуществлять определенные алгоритмы действий, направленных на раскрытие математических закономерностей, связанных с изучаемым объектом. Таким образом, в применении учебных моделей прослеживается реализация дидактических принципов научности, наглядности и активности.

На уровне дошкольного образования и начальной школы учебные модели – это, прежде всего, вещественные (материализованные) и знаковые (образно-символические) модели, имеющие взаимно-однозначное соответствие с математическим понятием в отношении его существенных свойств, которые позволяют детям открывать новое (субъективное новое знание об изучаемом явлении). В основной и старшей школе учебные модели – это структуры, которые могут быть предметом учебного исследования и обладают минимальной «чувственной» составляющей. На каждом из этапов математического образования учебная модель конструируется, исходя из дидактических задач. Для содействия переходу от эмпирического мышления к уровню теоретического должна быть выдержана логика «развития» учебных моделей: вещественная (материализованная) модель – знаково-символическая (графическая) модель – знаковая (описательная) модель.

Таким образом, эффективность преподавания математики зависит от собственно математического содержания учебного материала и учебных моделей, применяемых в учебно-исследовательской деятельности.

Остановимся более подробно на проблеме развития математического мышления школьников, обучающихся в основной школе, при освоение ключевых понятий тригонометрии.

В настоящее время в сети Интернет можно найти много различных видеоуроков и текстов, рассказывающих, например, о том, что такое синус угла, при этом часто термин используется в упрощенном или искаженном значении, а примеры приводятся столь скудные, что у школьника складывается неверное представление об этом понятии: синус угла заменяется «синусом острого угла в прямоугольном треугольнике» и предлагаются мнемонические приемы для заучивания значений синуса 30°, 45°, 60°. В методике математики преобладает позиция с введением понятия синуса острого угла в прямоугольном треугольнике, предусматривающая расширение понятия синуса для произвольного угла через использование тригонометрической окружности (при этом тригонометрическая функция y=sin(x) изучается отдельно и не всегда грамотно соотносится школьниками с тригонометрическим кругом). При таком варианте ознакомления с понятием синуса угла для школьников сложно выявить связь между разными определениями одного понятия, объем разрозненной информации оказывается велик и сложно поддается обобщению. Кроме того, приемы визуализации, применяемые в учебной литературе и видеоуроках часто не учитывают требование вариативного представления прямоугольных или произвольных треугольников на чертежах к задачам, обучающим вычислять или использовать для решения синус угла; а однотипные чертежи приводят к формированию ложного стереотипа у обучающихся.

Целесообразно, на наш взгляд познакомить школьников с более емким и широким понятием синуса угла, предложенным А.Д. Александровым в 1982 году (рис.1.). «В препринте «Треугольники» А.Д. Александров пишет: «Каждому углу сопоставляется число, называемое синусом этого угла и определяемое следующим образом.

На одной из сторон угла от его вершины откладывается произвольный отрезок c, и из его конца опускается перпендикуляр h на другую сторону угла или на ее продолжение. Отношение этого перпендикуляра к отрезку c и называется синусом данного угла. Оно зависит только от величины угла и обозначается sin A, если угол или его величина (градусная или иная мера) обозначена A.

То, что каждому углу, каждой величине угла A сопоставлено определенное число sin A, означает, что задана функция величины угла. Синус есть функция величины угла» (Венгер, 2002) [18].

Рисунок 1. Варианты построений для определения (вычисления) синусов острого и тупого углов

Вычисление синуса одного угла несколькими школьниками позволит прийти к выводу о погрешностях вычисления и необходимости доказательства того, что величина синуса угла не зависит от выбора точки на стороне угла (соответствующая теорема легко может быть доказана через определение площади произвольного треугольника [18]). Благодаря использованию широкого понятия синуса угла применительно к произвольному треугольнику и одновременному введению термина «функция» появляется возможность интегрировать алгебраический и геометрический подходы и обеспечить «широкое поле» для исследований и развития мышления школьников. Построения, выполняемые на сторонах угла, и приводящие, в случае острого угла, к появлению прямоугольного треугольника, в котором вычисляется отношение противолежащего углу катета и гипотенузы, изначально не имеют заранее предопределенной ориентации на плоскости, т.к. точка для откладывания перпендикуляра выбирается на луче произвольно; это позволяет избежать стереотипности в построении чертежей к задачам по данной теме.

Итак, «целенаправленное формирование теоретического типа мышления становится возможным, как показывают исследования В.В. Давыдова, В.В. Репкина, Л.К. Максимова, В.П. Андронова и др., в условиях специально организованной учебной деятельности» [14]; изучение математического мышления традиционно связано с определением условий становления теоретического математического мышления как высшего уровня его развития, при этом дальнейшей разработки требует, на наш взгляд, проблема проектирования учебных моделей, используемых при преподавании различных тем учебного предмета «Математика». Важно реализовать дидактические возможности интеграции алгебры и геометрии в контексте дидактических принципов наглядности и активности для обеспечения доступной школьникам самостоятельности и творчества. Как подчеркивает А.Ю. Шварц, «чувственные представления в математике отражают свернутый опыт предметных действий с пространственными объектами. В сознании конкретного индивида изображение неотрывно связано со способами его использования и восприятия. Именно это включение знаково-символической модели в активную деятельность субъекта и порождает чувственные представления»; соответственно от свойств учебных моделей и их соответствия возрастным и индивидуальным возможностям обучающихся в значительной степени зависит качество математического образования школьников. Разработка данной проблематики представляется в эвристичной в деятельностной парадигме: изучение содержания учебных действий школьников при использовании различных учебных моделей в преподавании математики.


Список литературы

1. Рыбдылова Д.Д. О проблеме воспитания у учащихся математического мышления как составной части общей культуры мышления / Д.Д.Рыбдылова // Современные проблемы воспитания и развития личности: теория и практика / Под ред. Т.Д.Марцинковской, А.Н.Литвиновой, В.В.Ряшиной. М.:ИРЛ РАО, 1997. С.215-216.
2. Охтеменко О.В. О формировании у школьников математического мышления / О.В.Охтеменко // Дни науки в МГПУ. Материалы секции «Актуальные проблемы научных исследований аспирантов и соискателей МГПУ». М., 2001. С.98-100.
3. Безусова Т.А. Развитие математического мышления с помощью задач с избыточными (недостаточными) данными / Т.А.Безусова // Ученые записки. Соликамский гос пед ин-т, 2006. Вып.4. С.329-332.
4. Незнамова М.А. Формирование культуры математического мышления / М.А.Незнамова // Формирование профессиональной культуры специалистов XXI века в технологическом университете: Труды 3-й Междунар. Науч.-практ. Конф. СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2003. С.508-512.
5. Ширяева Н.В. Психологические условия развития математического мышления старшеклассников: автореф. дис. ... канд. психол. наук: 19.00.07 / Н.В.Ширяева; Сев.-Кавказ. гос. техн. ун-т. Ставрополь, 2006. 22 с.
6. Барашко Е.Н. Теоретико-педагогические аспекты развития у школьников математического мышления с использованием информационных и коммуникативных технологий / Е.Н.Барашко // Ключови въпроси в съвременната наука: материали за 10-а международна научна конференция. София: «Бял ГРАД-БГ» ООД, 2014. Т.17: Педагогически науки. С.56-59.
7. Хотченкова Е.А. Развитие логического мышления школьников средствами учебного предмета «Математика»: автореф. дис. ... канд. пед. наук: 13.00.01 / Е.А.Хотченкова; Ставроп. гос. ун-т. Ставрополь, 2006. 22 с.
8. Моисеева В.Н. Методика формирования у старшеклассников логических приемов мышления при решении уравнений и неравенств: автор. дис. ... канд. пед. наук: 13.00.02 / В.Н.Моисеева; Астрахан. гос. ун-т. Астрахань, 2010. 25 с.
9. Алешина Н.П. Развитие эвристического и логического мышления старшеклассников в процессе обучения математике: на примере элективного курса по решению задач с помощью законов логики союзов: автор. дис. ... канд. пед. наук : 13.00.02 / Н.П.Алешина; Морд. гос. пед. ин-т им. М.Е. Евсевьева. Саранск, 2008. 21 с.
10. Евдокимова Л.В. Формирование комбинаторного мышления у младших школьников и подростков: автореферат дис. ... канд. психол. наук : 19.00.13 / Л.В.Евдокимова; Моск. гос. ун-т им. М.В. Ломоносова. Москва, 2006. 29 с.
11. Купчинаус С.Ю. Дидактические условия развития конструктивно-логического мышления студентов - будущих педагогов-математиков: автореф. дис. ... канд. пед. наук : 13.00.01 / С.Ю.Купчинаус. Удмурт. гос. ун-т. Ижевск, 2006. 20 с.
12. Фоминых М.М. Педагогические условия развития эвристического мышления при обучении математике студентов нематематических специальностей: автореф. дис. ... канд. пед. наук : 13.00.01 / М.М.Фоминых; Ур. гос. ун-т им. А.М. Горького. Екатеринбург, 2006. 22 с.
13. Майер Р.В. Определение уровня абстрактности, сложности и информативности различных тем школьного учебника физики / Р.В.Майер // Психология, социология и педагогика. 2013. № 2 [Электронный ресурс]. URL: https://psychology.snauka.ru/2013/02/1813 (дата обращения: 23.05.2021).
14. Астаханов Р.А. К диагностике развития математического мышления / Р.А.Астаханов // Вопросы психологии. 1992. № 1-2. С. 60-67.
15. Шварц А.Ю. Роль чувственных представлений в математическом познании и понимании математики / А.Ю.Шварц // Психологические исследования. 2011. № 3. URL: http://psystudy.ru/num/2011n3-17/496-shvarts17 (дата обращения: 23.05.2021).
16. Болотов В.А. Состояние математического образования в РФ: общее среднее образование / В.А.Болотов, Е.А.Седова, Г.С.Ковалева // Проблемы современного образования. 2012. С.32-47.
17. Репринцева Г.А. Об опыте использования учебных моделей в естественно-математическом образовании дошкольников / Г.А.Репринцева // Дошкольник и младший школьник в системе современного естественно-математического образования: сборник докладов межрегиональной научно-практической Интернет-конференции (Белгород, 7-20 ноября 2006г.) Белгород: Изд-во «Велес», 2007. С.18-24.
18. Вернер А.Л. Роль и место тригонометрии в курсе геометрии основной школы / А.Л.Вернер // Математика (Приложение к журналу «Первое сентября»). № 41 (464). 2002. https://mat.1sept.ru/view_article.php?ID=200204101 (дата обращения: 23.05.2021).

Расскажите о нас своим друзьям: