Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования) | Мир педагогики и психологии №12 (53) Декабрь 2020

Компьютерные технологии в организации внеурочной деятельности в предметной области «Математика»

Андрафанова Наталия Владимировна
канд. пед. наук, доцент, Кубанский казачий кадетский корпус им. М. П. Бабыча, РФ, Краснодар, nat_drofa@mail.ru

Аннотация: В статье представлен подход к организации внеурочной деятельности (общеинтеллектуальное направление) для учащихся 10 классов в предметной области «Математика», основанный на активном применении компьютерных технологий. Сделан акцент на геометрическую составляющую математического образования с использованием современных компьютерных технологий в сочетании с исследовательской деятельностью. Представлены дидактические и исследовательские возможности системы динамической геометрии GeoGebra, которые могут быть использованы для проведения экспериментальной исследовательской работы во внеурочной деятельности.
Ключевые слова: внеурочная деятельность, исследовательская деятельность учащихся, системы динамической геометрии, GeoGebra, компьютерный эксперимент.

Andrafanova Natalia Vladimirovna
PhD of Pedagogics, Docent The Kuban Cossack cadets’ Corps named after M. P. Babych, Russian Federation, Krasnodar

Abstract: The article presents an approach to the organization of extracurricular activities (General intellectual direction) based on the active usage of computer technology, for the students of grades 10 in the subject area "Mathematics". Emphasis is placed on the geometric component of math- education with using modern computer technology in combination with research activities. The article presents the didactic and research capabilities of the GeoGebra dynamic geometry system which can be used for conducting experimental research work in extracurricular activities.
Keywords: extracurricular activities, student research activities, dynamic geometry systems, GeoGebra, computer experiment.

В соответствии со стандартом среднего общего образования одним из видов образовательной деятельности учащихся является внеурочная деятельность, осуществляемая в формах, отличных от урочной, и направленная на достижение планируемых результатов образовательной программы среднего общего образования.

Основной целью внеурочной деятельности является развитие индивидуальных интересов, способностей обучающихся, приобретение ими собственного социально-культурного опыта в свободное от учебы время. Для проявления и развития интересов и способностей в выбранном направлении внеурочной деятельности необходимо создание условий, поиск эффективных форм, методов и средств ее организации.

Одним из направлений внеурочной деятельности для учащихся 10 классов Кубанского кадетского казачьего корпуса им. М. П. Бабыча является «Математическая лаборатория по решению избранных задач», которая относится к общеинтеллектуальному направлению внеурочной деятельности. В программе внеурочной деятельности сделан акцент на геометрическую составляющую математического образования, что обусловлено невысоким уровнем предметных достижений выпускников на ЕГЭ по математике, ежегодно отмечаемом в анализе результатов ЕГЭ, проводимом Федеральным институтом педагогических измерений (https://fipi.ru/ege/): выпускники школ либо не выполняют геометрические задачи вообще, либо решают только плоскостные задачи, и лишь незначительная часть на экзамене приступает к решению стереометрических задач, хотя и не многие получают положительный результат. Если для преодоления порога успешности на ОГЭ по математике учащимся необходимо набрать не менее 2-х баллов за решение заданий по геометрии, то на ЕГЭ по математике базового и профильного уровней никах критериев к выполнению геометрических заданий уже не указано: любое правильно выполненное задание оценивается количеством первичных баллов в соответствии со спецификацией КИМ ЕГЭ и добавляется к общей сумме баллов за экзаменационную работу. Видимо еще и по этой причине лишь незначительная часть выпускников берется за решение геометрических задач, остальные же предпочитают выполнение заданий алгебраического содержания.

Причиной низких предметных результатов выполнения геометрических заданий эксперты считают недостатки в преподавании геометрии основной школы, которые затем не позволяют в достаточном объеме качественно изучить темы курса геометрии 10-11 классов, создавая предпосылки для потери интереса учащихся к геометрии в старшей школе. Результаты слабой школьной геометрической подготовки, в свою очередь, оказываются неприемлемыми для требований высшей школы.

Конечно, геометрия всегда была сложным предметом для учащихся, а незначительное количество геометрических заданий в тестах ЕГЭ, недостаточное внимание при подготовке к экзамену в сравнении с алгебраической составляющей, а также сложившаяся традиционная методика преподавания геометрии, направленная на развитие логического мышления учащихся в ущерб образным компонентам мышления [1, с. 69], не способствуют высоким предметным показателям и формированию познавательного интереса учащихся к изучаемому разделу математики. Поэтому многие исследователи обращают внимание на поиск путей совершенствования методики преподавания геометрии, основанного на оптимальном сочетании логического и наглядно-образного мышления, а также применении современных компьютерных технологий, позволяющих изменить традиционные подходы к изучению многих вопросов геометрии как в урочное, так и во внеурочное время.

Ввиду особенности раздела «Геометрия», в котором, по словам академика А.Д. Александрова, «строгая логика соединена с наглядным представлением, в котором они взаимно организуют и направляют друг друга» [2, с. 56], актуальным является применение компьютерных технологий именно при изучении геометрического материала, что и предусматривает программа внеурочной деятельности «Математическая лаборатория по решению избранных задач». Применение компьютерных технологий в предложенной программе внеурочной деятельности позволяет активно реализовывать идеи использования проектного и исследовательского обучения.

В качестве технологии геометрических исследований выбрана система динамической геометрии (СДГ) GeoGebra так как это свободно распространяемое кроссплатформенное программное обеспечение (GPL - General Public License - открытое лицензионное соглашение), имеющее русскоязычную версию, которое можно скачать на официальном сайте GeoGebra https://www.geogebra.org и использовать в любом урочном и внеурочном виде деятельности.

СДГ GeoGebra обладает такими дидактическими возможностями как наглядность, моделирование и динамика:

1. 1. наглядность – визуализация учебной информации о геометрических объектах, развивающая «активное математическое видение» объектов и их свойств [3, c. 46];
   2. моделирование – экспериментальное наблюдение за поведением геометрических объектов и открытие неизвестных ранее свойств и фактов;
   3. динамика – реализация компьютерными средствами эффекта движения иллюстративного объекта [4, с. 561].

Как отмечал И.Ф. Шарыгин: «… компьютер является очень полезным инструментом в геометрических исследованиях. С его помощью можно экспериментально обнаруживать новые интересные геометрические факты. Человеку же остается важнейшая роль - эти факты доказывать (всего лишь!)» [5, с. 51]. Из истории математики известно, что многие математические открытия были получены в результате исследования, посредством экспериментов и индуктивных рассуждений, и только позднее они были доказаны дедуктивным методом.

Учитывая привлекательность применения компьютерных инструментов в сравнении с традиционными инструментами (карандашом, линейкой, циркулем и др.) у современных школьников, создание таких условий для изучения геометрической составляющей математического образования будет способствовать постепенному изменению отношения к изучению геометрического материала, формированию у учащихся устойчивого интереса к геометрии, выявления и развития их математических способностей к решению избранных задач, что несомненно позволит не только расширить математический кругозор учащихся, но и создаст фундамент для успешной сдачи геометрического блока ЕГЭ по математике как на базовом, так и на профильном уровнях.

При использовании компьютерных инструментов для создания геометрических чертежей у учащихся сохраняется правильное представления о технике геометрического построения. Расширенный по сравнению с геометрией “на бумаге” набор элементарных операций, упрощает построение чертежа и позволяет не только значительно экономить время, но и при необходимости быстро и просто видоизменять чертеж.

Рассмотрим возможности системы GeoGebra с точки зрения проведения геометрических исследований (рис.1):

• инструменты для выявления метрических и позиционных свойств объекта («Расстояние или длина», «Угол», «Площадь», «Наклон прямой»);
• инструменты для получения сведений об отношении метрических и позиционных свойств объектов («Отношение объектов»);
• возможность движущейся точки оставлять след (свойство объекта «Оставлять след»);
• инструмент для параметрического задания изменений величины («Ползунок»);
• создание таблиц экспериментальных данных (команда меню Вид®Таблица, инструмент «Запись в таблицу»);
• создание динамических текстов («Надпись»).

Рисунок 1. Инструменты для проведения геометрических исследований

Продемонстрируем экспериментальные возможности системы динамической геометрии GeoGebra на примере вывода теоремы Менелая, представленной в книге «Сферики» древнегреческого математика и астронома Менелая Александрийского (около 100 г. н.э.). Эта теорема о самом простом из многоугольников - треугольнике, который привлекал внимание как ученых древности (Герон, Менелай, Птолемей), так и ученых более близких к нашему времени (Эйлер, Понселе и др.). С помощью нее легко и изящно можно решать целый класс задач.

Рассматривая теорему Менелая как предмет исследовательской деятельности учащихся следует помнить о том, что хотя и исследовательская деятельность учащихся подобна научной деятельности, но тем не менее отличается тем, что тематика исследования определяется требованиями программы, а результат исследования обладает новизной только для данного исследователя.

Теорема Менелая представлена в главе VIII «Некоторые сведения из планиметрии» учебника 10-11 класса [6, с. 200], необязательной для базового уровня подготовки, но необходимой для решения задач планиметрии профильного уровня, в достаточно сложной форме, но с математической точностью и полнотой. Мы же ее рассмотрим в более доступной формулировке, проведя геометрические исследования.

Теорема 1. Если на сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты точки С₁ и А₁ соответственно, а точка В₁ взята на продолжении стороны АС, то точки С₁, А₁ и В₁ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполнено равенство (1):

То есть, при составлении равенства Менелая совершают обход треугольника в любом направлении, переходя от вершины треугольника к другой вершине через точку пересечения секущей линии со стороной или ее продолжением, завершая обход в вершине, из которой было начато движение (рис. 2).

Рисунок 2. Теорема Менелая

Для проверки истинности рассматриваемого соотношения, используя инструмент Перемещать для точки С₁ (или точки А₁), наблюдаем за изменениями числовых характеристик объектов построенной геометрической конструкции при сохранении основных алгоритмических свойств чертежа с помощью созданного динамического текста, для вывода которого применяем инструмент «Надпись». Приходим к выводу: изменения характеристик объектов чертежа (длин получившихся отрезков) не влияет на значение соотношения теоремы: оно остается неизменным и равным 1.

Если требуется зафиксировать данные о наблюдаемых изменениях в таблице экспериментальных данных, то для сбора экспериментальных данных воспользуемся возможностями GeoGebra: таблицей экспериментальных данных, которая появляется в графическом окне при выборе команды меню Вид®Таблица.

С помощью инструмента «Запись в таблицу» исследуемые объекты чертежа, а также выражения, в которых они могут использоваться, последовательно заносятся в столбцы таблицы, причем в первый столбец записывается изменяемая величина, от которой зависят характеристики исследуемых объектов чертежа.

Если требуется зафиксировать данные о наблюдаемых изменениях в таблице экспериментальных данных, то при построении треугольника можно использовать инструмент «Ползунок» для изменения длины отрезка AC₁, что вызовет изменения длин отрезков С₁B, CB₁, B₁A (рис. 3).

Заполнение таблицы экспериментальных данных для исследуемых соотношений отрезков и их произведения выполняется для изменяемых значений длины отрезка АС₁ при фиксированных значениях длин отрезков ВА₁ и А₁С. Исследование рекомендуется выполнять не один раз, чтобы убедиться в истинности утверждения.

Рисунок 3. Таблица экспериментальных данных

Для демонстрации доказательства теоремы Менелая можно с помощью инструмента «Ползунок» создать на одном полотне с чертежом пошаговое доказательство в виде «живого рисунка» (рис. 4).

Рисунок 4. Доказательство теоремы Менелая

Умение применять в математической практике не только традиционные инструменты, (линейку, циркуль, транспортир и др.), но и использовать компьютерные технологии относится к важным инструментальным исследовательским умениям учащихся. Компьютерные геометрические построения и исследования свойств геометрических объектов демонстрируют красоту математики, а «математика есть прообраз красоты мира» («Geometria est archetypus pulchritudinis mundi») [7, c. 6].

Благодаря таким компьютерным исследованиям, геометрические формулировки из заучиваемых и механически воспроизводимых, порой непонятных, суждений и фраз, превращаются в экспериментально проверяемые и доказываемые утверждения, и учащиеся с большим интересом начинают заниматься геометрией, выявляя и развивая способности к изучению геометрического материала, что и является одной из основных целей программы внеурочной деятельности «Математическая лаборатория по решению избранных задач».

Описанные экспериментальные возможности СДГ GeoGebra позволяют ее широко применять в исследовательской деятельности учащихся в качестве средства проведения геометрических исследований, а в практике преподавания геометрии привносят в ее изучение наглядность и увлекательность. Необходимость введения экспериментальной составляющей в современное математическое образование определена новыми требованиями ФГОС, среди которых активное использование идей проектного и исследовательского обучения как в предметной подготовке, так и во внеурочное время.

1.Глейзер Г.Д. Каким быть школьному курсу геометрии // Математика в школе, 1990. №7. с.68-71.
2.Александров А.Д. «О геометрии» // Журнал «Математика в школе», 1980. № 3, с.56-62.
3. Андрафанова Н.В., Губа Н.В., Шмалько С.П. Использование информационных технологий при подготовке бакалавров экономических направлений. Информатизация образования и науки. 2016. № 3 (31). С. 4557.
4.Андрафанова Н.В., Губа Н.В. Применение информационных технологий в математическом образовании. Образовательные технологии и общество. 2015. Т.18. № 4. С. 559-573. Режим доступа: https://www.elibrary.ru/contents.asp?id=34193250 (Дата обращения: 05.12.2020).
5.Шарыгин И.Ф. Нужна ли школе 21-века Геометрия? М.: Издательство МЦНМО. Математическое просвещение, сер.3, вып.8, 2004, с.3752.
6.Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7-9 классы: учебное пособие для образовательных учреждений. М.: Просвещение, 2016.
7.Волошинов А.В. Математика и искусство, 1992. 401 с. Режим доступа: https://litvek.com/book-read/483760-kniga-aleksandr-viktorovich-voloshinov-matematika-i-iskusstvo/ (Дата обращения: 05.12.2020).