Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования) | Мир педагогики и психологии №07 (48) Июль 2020

Компьютерная поддержка при обучении геометрии в старшей школе

Михоненко Ольга Ивановна
ассистент кафедры общей педагогики и образовательных технологий, ГБОУ ВО «Ставропольский государственный педагогический институт», РФ, г. Ставрополь, ms.mihonenko@mail.ru

Аннотация: Работа носит практико-ориентированный характер и посвящена актуальному вопросу внедрения информационно-компьютерных технологий в образовательный процесс. В работе рассмотрен частный случай применения компьютерной поддержки при обучении школьников курсу стереометрии в 10-11 классах. Проблема раскрывается на примере сравнения решения геометрической задачи в старшей школе традиционным способом и с применением программ «Математический конструктор» и «GeoGebra». Отмечено, что использование компьютерных программ при обучении геометрии способствует достижению целого ряда образовательных результатов.
Ключевые слова: геометрия, стереометрия, процесс обучения, компьютерная поддержка обучения, Математический конструктор, GeoGebra

Mikhonenko Olga Ivanovna
assistant at the department of general pedagogy and educational technologies, SBEI HE Stavropol State pedagogical institute, Russia, Stavropol

Abstract: The work is practice-oriented and is devoted to the topical issue of introducing information and computer technologies into the educational process. The paper considers a particular case of the use of computer support when teaching students a stereometry course in grades 10-11. The problem is revealed by the example of comparing the solution of a geometric problem in high school in the traditional way and using the programs "Mathematical constructor" and "GeoGebra". It is noted that the use of computer programs in teaching geometry contributes to the achievement of a number of educational results.
Keywords: geometry, stereometry, learning process, computer support for learning, Mathematical constructor, GeoGebra.

Федеральный государственный образовательный стандарт последнего поколения ставит перед школой задачу не только передать школьникам систему предметных знаний, умений и навыков, но и сформировать у учащихся личностные и метапредметные результаты обучения [1], что невозможно только лишь в рамках знаниевой парадигмы.

Среди метапредметных результатов обучения важное место занимают способность к самостоятельной информационно-познавательной деятельности; умение использовать средства информационных и коммуникационных технологий при решении когнитивных, коммуникативных, организационных, а также образовательных задач. Это обусловлено тем, что в современном мире высока роль информационных технологий, проникающих во все сферы человеческой деятельности.

Применение компьютерных программ в образовании способно расширить возможности обучения и повысить его эффективность. Это отражено в политике государства в сфере образования, о чем свидетельствует масштабный федеральный проект «Цифровая школа», направленный на создание безопасной цифровой среды во всех школах к 2024 году, обеспечивающей осуществление процесса образования всех видов и уровней с помощью компьютерных технологий [2].

В настоящее время существует большое количество компьютерных программ, которые возможно использовать при обучении всем дисциплинам для повышения уровня предметных знаний и метапредметных результатов. Рассмотри применение электронных программ для обучения геометрии в старшей школе.

Использование компьютерной поддержки в обучении позволяет повысить наглядность материала и преподнести его более красочно и разнообразно, организовать научные эксперименты, решение исследовательских задач математического характера и многое другое. Таким образом, изучение геометрии становится более понятным и интересным для школьников, повышается доля усвоенного материала [3], что влечет за собой повышение эффективности обучения.

У обучающихся старшей школы вызывает сложности решение задач по стереометрии. Одной из тем школьного курса геометрии в 10-11 классах является тема «Сечение объемных тел».  Как правило, ее изучению уделяется немного времени, в то время задачи на нахождение сечения и вычисления площади полученной в сечении фигуры присутствуют в профильном едином государственном экзамене по математике. Часто учителя предлагают определенный алгоритм решения задачи для ее усвоения старшими школьниками. Такая организация работы влечет за собой формирование у школьников операторного способа мышления и отсутствие способности творчески подходить к решению задач [4].

Применение различных способов решения, в том числе с использованием компьютерных программ, активизирует мыслительную деятельность обучающихся, позволяет ученикам оценить положительные и отрицательные стороны каждого способа и выбрать подходящий для повышения умения решения задач. Также стоит отметить, что каждый способ решения способствует формированию разных метапредметных результатов.

Сравним решения стереометрической задачи традиционным способом и с помощью компьютерных программ. Для примера возьмем задачу из учебника по геометрии для 10-11-х классов.

Задача: Ребра тетраэдра равны 4. Определите, какая фигура получается в сечении, проходящем через середины четырех его ребер. Найдите площадь сечения [5].

Для удобства сравнения хода решения определим единый алгоритм: построение тетраэдра, построение сечения, определение фигуры, которая получилась в сечении, и нахождение площади получившегося сечения.

I способ: традиционный.

1. Построение тетраэдра. Ученики выполняют чертеж (рисунок 1). Для этого они строят треугольник ABC, затем ставят точку D и соединяют отрезками каждую вершину треугольника с данной точкой. Далее отрезки, обозначающие невидимые линии необходимо заменить пунктиром.

Рисунок 1. Чертеж тетраэдра

2. Построение сечения. Для этого обучающиеся вспоминают, что сечением является фигура, образованная при пересечении тела плоскостью. Следовательно, необходимо отметить середины ребер так, чтобы три точки не относились к одному основанию тетраэдра. Ученики отмечают точки на четырех ребрах и соединяют их (рисунок 2).

Рисунок 2. Построение сечения тетраэдра

3. Определение фигуры, которая получилась в сечении. Для этого ученики используют доказательство. Отрезки EF, GH являются средними линиями треугольников ACD и ACB, а отрезки FG, HE – средними линиями треугольников DBC и DBA. Из этого следует, что EF || FG, GH || HE, EF = FG = GH = HE = 2. Значит, EFGH – ромб. Построив высоту BL треугольника ABC и соединив точки D и L, изобразим плоскость DBL. Высота тетраэдра DK принадлежит плоскости DBL, при этом, так как BL не только высота, но и медиана основания, точка K лежит на BL (рисунок 3).

Рисунок 3. Вспомогательные чертежи для доказательства

Таким образом, DK ⊥ KL и KL ⊥ AC, => DL ⊥ AC по теореме о трех перпендикулярах. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости AC ⊥ DB, => EF ⊥ EH, то есть ∠FEH = 90°. Из вышесказанного следует, что EFGH – квадрат.

4. Нахождение площади сечения. Зная, что сечением является квадрат и что сторона равна 2, площадь можно вычислить по формуле S=a2 . Таким образом, получен ответ, что площадь сечения равна 4.

II способ: решение задачи с использованием программной среды «Математический конструктор».

Программная среда «Математический конструктор» предназначена для создания интерактивных математических моделей [6]. Перед началом работы учитель знакомит школьников с интерфейсом программной среды (рисунок 4).

Рисунок 4. Окно работа со стереометрическими моделями в программной среде «Математический конструктор»

Также следует обратить внимание школьников, что при работе с программной средой и 3D-моделями, работа проводится не с реальными пространственными фигурами, а с их параллельными проекциями на плоскость.

Без наглядности изучение геометрии происходит со значительными трудностями. Динамическая интерактивная модель поможет школьникам визуализировать геометрическую задачу, делая процесс обучения более понятным. Использование модели в процессе решения упростит школьникам задачу, а также школьники позволит, воспользовавшись функциями программы, проверять свои гипотезы в процессе доказательства. Предложим алгоритм решения геометрической задачи с использованием «Математического конструктора».

1. Построение тетраэдра. Для этого в программной среде «Математический конструктор» ученики используют готовый шаблон, выбрав в меню «Листы» ® «Использовать шаблон» ® «Тела» ® «Треугольная пирамида (правильная)» (рисунок 5).

Рисунок 5. Модель тетраэдра в программной среде «Математический конструктор»

2. Построение сечения. Сначала школьники, используя инструмент «Построить середину отрезка», находят середины четырех ребер. Выбрав данный инструмент, необходимо нажать на концы отрезка и на середине отрезка появится точка. Далее ученики выбирают инструмент «Многоугольник» и строят многоугольник через середины отрезков (рисунок 6).

Рисунок 6. Построение сечения тетраэдра в программной среде «Математический конструктор»

3. Определение фигуры, которая получилась в сечении. На данном этапе ученикам предлагают выдвинуть гипотезу: какая фигура получилось в сечении. Ученики  предполагают, что полученная фигура – квадрат. Учитель предлагает проверить гипотезу, измерив стороны и углы фигуры с помощью инструментов «Измерить длину отрезка» и «Измерить величину угла» (рисунок 7). Следует учитывать, что в данном случае идет проверка на равенство сторон, а не нахождение длин сторон. Также возможны небольшие искажения, так как данные не геометрических объектов, а их проекций. За этим можно проследить, вращая геометрическое тело.

Рисунок 7. Измерение данных сечения тетраэдра в программной среде «Математический конструктор»

4. Нахождение площади сечения. На данном этапе ученики вычисляют сторону сечения (средняя линия равна половине основания) и находят площадь сечения. Таким образом, у учеников получается ответ 4.

III способ: решение задачи в программе «GeoGebra».

GeoGebra является динамическим программным обеспечением математики для школ, которое соединяет геометрию, алгебру и математический анализ. С одной стороны, GeoGebra – это интерактивная система геометрии, в ней можно сделать конструкции точек, векторов, отрезков, прямых, многоугольников и конических сечений. С другой стороны, данные об объектах могут быть введены непосредственно, что позволяет работать с точными вычислениями.

Программа «GeoGebra» помогает ученикам изучать стереометрию за счет интерактивной работы с чертежами, возможности использования функций автоматического вычислений и сравнения своих результатов вычислений с компьютерными данными.

Учитель перед работой с программой знакомит с ней обучающихся (рисунок 8).

Рисунок 8. Основное окно программы «GeoGebra»

Учитель предлагает школьникам произвести решение задачи в компьютерной программе.

1. Построение тетраэдра. Ученики, используя инструмент «Тетраэдр», строят геометрическое тело. Для построения необходимо отметить две точки, расстояние между которыми равно 4, так как при моделировании задачи, используем точные данные в соответствии с условием. Для дальнейшей работы с тетраэдром можно отключить изображение плоскости, осей координат (рисунок 9).

Рисунок 9. Чертеж тетраэдра в программе «GeoGebra»

2. Построение сечения. Для построения сечения сначала ученики строят середины четырех ребер. Для этого они используют инструмент «Середина или центр», выбирают четыре ребра и получают на чертеже точки – середины этих ребер. Далее ученики выбирают инструмент «Плоскость» и проводят плоскость через три любые точки, полученные ранее. Вращая чертеж, ученики могут рассмотреть пересечение плоскости  с разных сторон (рисунок 10).

Рисунок 10. Построение пересечения плоскости с тетраэдром в программе «GeoGebra»

Далее ученики используют инструмент «Кривая пересечения», выбирая плоскость и тетраэдр, они видят фигуру, полученную при сечении. Теперь можно убрать изображение плоскости для дальнейшего удобства в работе (рисунок 11).

Рисунок 11. Изображение фигуры полученного сечения в программе «GeoGebra»

3. Определение фигуры, которая получилась в сечении. По получившемуся изображению ученики предполагают, что в сечении квадрат. Для проверки данной гипотезы можно проверить длины сторон и градусные меры углов получившегося сечения. Используя инструмент «Расстояние или длина», ученики выбирают нужные отрезки и получают данные, также с помощью инструмента «Угол» обучающиеся отмечают на чертеже три точки угла и получают величины углов (рисунок 12).

Рисунок 12. Измерение величин полученного сечения в программе «GeoGebra»

Таким образом, гипотеза подтверждена. В сечении получился квадрат.

4. Нахождение площади сечения. Для вычисления площади фигуры достаточно использовать инструмент «Площадь». Выбрав многоугольник, ученики увидят площадь полученного сечения (рисунок 13).

Рисунок 13. Нахождение площади полученного сечения в программе «GeoGebra»

Задача решена. Площадь сечения равна 4.

Мы рассмотрели несколько способов организации решения стереометрической задачи. При обучении геометрии можно использовать различные способы, использовать их элементы и создавать новые сценарии решения задач.

В заключении отметим, что применение компьютерных программ на уроках геометрии способствует достижению следующих эффектов:

1.Повышение качества освоения геометрии, особенно стереометрии, так как компьютерные программы открывают возможности наглядного представления геометрических тел и работы с ними, что важно при изучении объемных фигур. При решении задач необходимо производить действия с геометрическими объектами, менять их свойства, за чем легко можно проследить с помощью электронных приложений.

2. Формирование навыков работы за компьютером, так как работа с программами требует хотя бы минимальные умения работы за компьютером.

3. Развитие алгоритмического мышления, так как работа в программе осуществляется через прописывание элементов объектов и действий с ними. Каждое действие является шагом к решению учебной задачи.

4. Усиление подготовки к Единому государственному экзамену; экзамен содержит задания по стереометрии, которым на уроках не всегда уделяется должного внимания в связи с отсутствием времени или сложностью показать «на доске» все действия с геометрическими фигурами.

5. Повышение мотивации к обучению, так как использование компьютерных программ при обучении открывает перед школьниками новые возможности в познании геометрических объектов, что привлекает школьников. Сам новый вид деятельности на уроке повышает интерес учеников, а яркий и удобный интерфейс повысит желание школьников работать в программах.

Таким образом, организация процесса обучения геометрии с использованием компьютерных программ способствует достижению целого ряда предметных и метапредметных результатов.

1. Приказ об утверждении федерального государственного образовательного стандарта среднего общего образования (с изменениями на 29 июня 2017 года) от 17 мая 2012 года № 413. [Электронный ресурс]. URL: http://docs.cntd.ru/document/902350579 (дата обращения: 20.06.2019).
2. Паспорт федерального проекта «Цифровая школа». [Электронный ресурс]. – Режим доступа: URL: http://mineco04.ru/razvitie-predprinimatelstva-v-respublike-altay/Цифровая%20школа.pdf (Дата обращения: 17.07.2020).
3. Жук Ю.А. Мультимедийные технологи: учеб. пособие. Сыктывкар: СЛИ, 2012. 271 с.
4. Грушевский С.П., Князева Е.В. Развитие навыков информационного моделирования как активный метод профессионального обучения студентов гуманитарных специальностей // Экономические и гуманитарные исследования регионов. 2014. № 1. С. 33-39.
5. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общебразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. 22-е изд. М.: Просвещение, 2013. 255 с.
6. Математический конструктор. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: URL: https://obr.1c.ru/mathkit/ (Дата обращения: 20.06.2020).