Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования) | Мир педагогики и психологии №09 (62) Сентябрь 2021

Использование среды GeoGebra при изучении производной

Овсянникова Татьяна Львовна
канд. пед. наук, доцент кафедры математики и прикладных информационных технологий и методики обучения математике имени Н.А. Ильиной, Орловский государственный университет имени И.С. Тургенева, РФ, г. Орёл, otl19@yandex.ru

Аннотация: В статье рассматривается возможности использования интерактивной среды GeoGebra при изучении производной для обеспечения наглядности и эффективности обучения.
Ключевые слова: производная, GeoGebra, динамическая геометрия, обучение математике

Ovsyannikova T.L.
Candidate Sci (pedagogical), associate professor of the Department of Mathematics and Applied Information Technologies and Methods of Teaching Mathematics named after N. A. Ilyina, Orel State University named after I. S. Turgenev, Russian Federation, Oryol

Abstract: The article considers the possibilities of using the interactive GeoGebra environment when studying a derivative to ensure the clarity and effectiveness of training.
Keywords: derivative, GeoGebra, dynamic geometry, teaching mathematics.

С понятием «производная» учащиеся встречаются уже на завершающем этапе изучения математики в 10 или 11 классе. Изучаемый в школе материал служит фундаментом для изучения математического анализа студентами инженерных, экономических и других специальностей. Именно поэтому задания, связанные с производной, регулярно включаются на выпускном экзамене по математике за курс средней школы (задания №6 и №11 профильного и №14 базового вариантов ЕГЭ согласно демоверсии 2022).

Сложность формирования представления о производной состоит в том, что это понятие абстрактное, оно описывает динамический процесс, а его физический смысл трудно представить наглядно. В примерной основной образовательной программе среднего общего образования указано, что выпускник научится: «определять значение производной функции в точке по изображению касательной к графику, проведённой в этой точке;  <…> пользуясь графиками, сравнивать скорости возрастания (роста, повышения, увеличения и т.п.) или скорости убывания (падения, снижения, уменьшения и т.п.) величин в реальных процессах; соотносить графики реальных процессов и зависимостей с их описаниями, включающими характеристики скорости изменения <…>;  использовать графики реальных процессов для решения несложных прикладных задач…» [1].

Перечисленные умения и навыки будут формироваться более эффективно при условии высокой наглядности изучаемого материала. Традиционные средства наглядности в большинстве случаев (учебник, доска) являются статическими. Кроме того, построение графиков различных функций требует хорошо сформированных графических навыков: сложность построения таких графиков обусловлена тем, что кривые зачастую имеют сложный вид. Построенные «от руки» графики не всегда являются точными. Для повышения точности и наглядности построения возможно использование программных средств. На уроках математики учителя всё чаще задействуют интерактивные геометрические системы. Это программные среды, которые позволяют на компьютере делать геометрические построения так, что при движении исходных объектов фигура сохраняет свою целостность. Именно динамические системы в наибольшей степени позволят отобразить взаимосвязь графиков различных функций (процессов) и соответствующих производных, дающих характеристики этих процессов.

На рубеже XX и XXI веков появились более двух десятков систем динамической геометрии (Cabri Geometry, Euklides, Kgeo, Kig, C.a.R., GeoGebra, KSEG и др.), но к середине 2010-х годов прекратили развитие все программные пакеты, кроме среды GeoGebra, которая стала фактически единственным инструментарием для компьютерного решения геометрических задач. Система является бесплатной, кроссплатформенной и многоязычной (хотя поддержка русского языка не вполне полноценна). Помимо геометрических (2D и 3D), она включает в себя все также алгебраический и статистический модули (несколько менее функциональных, чем специализированные программы).

В программе GeoGebra можно создавать динамические чертежи, обеспечивающие высокую наглядность построений: фигуры и графики функций «оживают» – перемещаются на координатной плоскости и меняют свой вид в соответствии с заданными параметрами. Всё это позволяет учителю и его ученикам быстро, наглядно и точно выполнить любые построения, в том числе: построение графиков функций (заданных в явном и параметрическом виде), построение графиков производных функции, нахождение области определения и значений, нулей функции, экстремумов и т.д.

При этом методических пособий, рассматривающих изучение производной средствами программе GeoGebra, сравнительно немного [2-4].

Рассмотрим возможности применения динамической программы GeoGebra при работе с производными. На наш взгляд визуализация принесёт наибольший эффект при выполнении заданий, близких к прикладным задачам. Приведём примеры исследовательских заданий, которые могут быть применены при изучении темы «производная»

Задание 1 (исследование касательной к параболе).

2) Прикрепите к этому графику точку А. Через точку А проведите касательную. С помощью команды «наклон прямой» определите угловой коэффициент k касательной.

3) С помощью команды «угол» определите угол α наклона касательной. Как связаны между собой значения k и α?

4) С помощью команды «ввод» отметьте на полотне точку В(х(А), k). У точки В будет та же абсцисса, что и у точки А, а ордината соответствует угловому коэффициенту касательной k. Задайте свойство точки В «оставлять след» (рисунок 1).

Рисунок 1. Исследование касательной к параболе

5) Перемещая точку А, заполните таблицу по известным элементам.

Рисунок 2. Исследование производной периодической функции

Стоит отметить, что программа не должна заменить решение таких уравнений, а только помочь разобраться с материалом. Постепенно у учащихся должен сформироваться навык самостоятельного построения и исследования графиков различных функций с помощью производной. По завершении формирования этих навыков учащиеся могут использовать пакет GeoGebra для проверки правильности найденного решения.

1. Алгебра и начала математического анализа. Сборник рабочих программ. 10-11 классы: учеб. пособие для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни / сост. Т.А. Бурмистрова. – 2-е изд., перераб. – М.: Просвещение, 2018. – 143 с.
2. Ларин С.В. Алгебра и математический анализ с GeoGebra // Вестник Красноярского государственного педагогического университета им. В.П. Астафьева. 2013. С. 236-240.
3. Чеботарева Э.В. Компьютерный эксперимент с GeoGebra – Казань: Казанский ун-т, 2015. 61 с.
4. Тагаева Е.А. Использование программной среды GeoGebra при изучении темы «производная функции» в средней школе // Учебный эксперимент в образовании. 2018. № 3. С. 40-44.