Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования) | Мир педагогики и психологии №11 (124) Ноябрь 2026

Формирование у обучающихся вторых и третьих классов умений рационального вычисления в условиях малокомплектной школы

Бердинских Екатерина Леонидовна
студент, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Вятский государственный университет», г. Киров, tukmacheva.ekaterinka@yandex.ru

Аннотация: Исследование посвящено педагогическим условиям формирования умений рационального вычисления у обучающихся вторых и третьих классов малокомплектной школы. Отдельно раскрыты возможности дифференцированной самостоятельной работы, а также парного и разновозрастного взаимодействия - форм организации учебной деятельности, рассматриваемых, в статье, применительно к обучающимся указанных классов малокомплектной школы. Результаты педагогического эксперимента представлены. Они, однако, не выявили устойчивой положительной динамики; по этой причине обоснована необходимость уточнения диагностических данных и дальнейшей проверки результативности предложенных условий - с сохранением первоначальной исследовательской логики.
Ключевые слова: рациональные вычисления, вычислительные умения, младшие школьники, малокомплектная школа, класс-комплект, дифференцированная самостоятельная работа, разновозрастное взаимодействие, самоконтроль.

Berdinskikh Ekaterina Leonidovna
Student, Federal State Budgetary Educational Institution of Higher Education “Vyatka State University”, Kirov

Abstract: The study is devoted to the pedagogical conditions for the formation of rational calculation skills in students of the second and third grades of a small school. Separately disclosed are the possibilities of differentiated independent work, as well as paired and different-age interaction - forms of organization of educational activities, considered in the article, in relation to students of these classes of a small school. The results of the pedagogical experiment are presented. They, however, did not reveal sustained positive dynamics; for this reason, the need to clarify diagnostic data and further verify the effectiveness of the proposed conditions is justified - while maintaining the original research logic.
Keywords: rational calculations, computing skills, younger students, small school, class-set, differentiated independent work, different-age interaction, self-control.

Введение

Формирование навыков рациональных вычислений в начальной школе предполагает, что дети учатся не просто получать правильный ответ, но и самостоятельно находить более удобный способ решения. Для этого необходимо замечать особенности числовых выражений, знать свойства арифметических действий и понимать, в каком порядке лучше выполнять вычисления. Не менее важно уметь проверить полученный результат. Во втором и третьем классах такая работа приобретает особое значение. Вычислительные задания постепенно усложняются, появляются новые случаи, поэтому привычного выполнения действий по образцу уже недостаточно. Школьнику приходится самому определять, какой прием подойдет для конкретного выражения.

Проблема исследования – каковы педагогические условия формирования у обучающихся вторых и третьих классов умений рационального вычисления в условиях малокомплектной школы?

Цель исследования – теоретически обосновать и экспериментально проверить педагогические условия формирования у обучающихся вторых и третьих классов умений рационального вычисления в условиях малокомплектной школы.

Объект исследования – процесс формирования у обучающихся вторых и третьих классов умений рационального вычисления.

Предмет исследования – педагогические условия формирования у обучающихся вторых и третьих классов умений рационального вычисления в условиях малокомплектной школы.

Методы исследования

Теоретические – анализ и сопоставление педагогической и методической литературы, изучение нормативных и программно-методических документов, обобщение теоретических положений; эмпирические – педагогическое наблюдение, анализ письменных работ обучающихся, выполнение диагностических заданий, педагогический эксперимент, включающий констатирующий, формирующий и контрольный этапы; методы обработки результатов – подсчет первичных баллов, распределение результатов по уровням и количественное и качественное сопоставление данных этапов эксперимента.

Теоретическая часть

Обучение младших школьников рациональным приемам вычислений включает несколько связанных между собой направлений. Обучающиеся осваивают способы преобразования чисел и выражений, опираясь на разрядный состав числа и свойства арифметических действий, учатся находить более удобный порядок выполнения операций, объяснять выбранный способ и проверять полученный результат. Формированию вычислительных умений важно уделять внимание уже с первого класса, так как этот возраст является восприимчивым периодом для формирования знаний и умений, необходимых для выполнения вычислительных операций. Если этот период упустить, сформировать вычислительные умения будет очень сложно [1].

Постановка задачи обучения младших школьников рациональным приемам вычислений предполагает прежде всего уточнение базовых понятий – «вычисление», «прием вычисления» и «рациональный прием вычисления». В Большом энциклопедическом словаре «вычисление» определяется как процесс выполнения арифметических действий над числами с целью получения числового результата. В методике начального обучения математике под вычислением, вслед за М.И. Моро и А.М. Пышкало [4], понимается выполнение арифметических действий над числами по определенным правилам.

Понятие «прием вычисления» уточняет, каким именно способом выполняется арифметическое действие. М.А. Бантова определяла прием вычисления как последовательность операций, выполнение которых приводит к нахождению результата арифметического действия [5]. По мнению Н.Б. Истоминой, прием вычисления есть осознанная цепочка действий, в основе которой лежит знание свойств арифметических действий, разрядного состава чисел и таблиц сложения и умножения [6]. Анализ приведенных определений позволяет заключить, что прием вычисления, в отличие от вычислительного навыка, всегда осознан и опирается на знание свойств числа и действий; именно эта характеристика делает прием предметом специального обучения в начальной школе.

Из всех возможных приемов выполнения одного и того же действия выделяют рациональные. Под рациональным приемом вычисления М.А. Бантова понимала выбор тех операций, «выполнение которых легче других и быстрее приводит к результату арифметического действия» [5]. М.И. Моро дает определение, что рациональный прием – это осознанно выбираемый способ выполнения арифметического действия, делающий процесс счета более коротким, менее трудоемким и более понятным для самого ученика [4].

Само освоение приема строится постепенно: сначала он вводится и выполняется с подробным объяснением, затем обучающиеся сравнивают разные способы вычисления, переходят к самостоятельному выбору более рационального варианта и используют знакомый прием уже на измененном числовом материале. Во втором классе такая работа проводится главным образом на более простых вычислительных случаях. В третьем классе числовой материал становится сложнее, а самостоятельность обучающихся при выборе способа вычисления постепенно возрастает.

Организация обучения математике в малокомплектной школе имеет дополнительные особенности, связанные с работой класса-комплекта. Учителю приходится поочередно работать непосредственно со вторым и третьим классами, в то время как другой класс выполняет самостоятельные задания [2]. Поэтому содержание такой работы необходимо готовить заранее, причем задания должны быть понятными без постоянного объяснения со стороны учителя и предусматривать возможность самоконтроля. В ходе урока могут сочетаться индивидуальная, фронтальная, парная и групповая формы работы. Если учебные действия обучающихся разных классов совпадают по своему содержанию, допускается использование разновозрастного взаимодействия. Рассмотренные особенности стали основой для дальнейшего определения педагогических условий и организации опытно-экспериментальной работы.

Экспериментальная часть

Одной из форм совместной работы на формирующем этапе стала «Математическая эстафета». Для обучающихся второго и третьего классов подбирались разные по уровню сложности вычислительные задания, но сама последовательность работы оставалась общей. Обучающийся выполнял вычисление, сообщал результат и затем объяснял, каким способом он действовал. Скорость выполнения в данном случае не была основной. Большее внимание уделялось тому, насколько осознанно обучающийся выбрал прием и может ли он объяснить его удобство. После выполнения задания рассматривались и другие возможные способы вычисления, после чего дети определяли, какой из них оказался более удобным.

Индивидуальные результаты, полученные на контрольном этапе, представлены в приложении В. При анализе динамики сравнивались не только общие уровни сформированности исследуемых умений. Рассматривалось также, как каждый обучающийся выполнял отдельные задания на констатирующем и контрольном этапах. Это давало возможность проследить изменения в самостоятельности выбора рационального способа, умении объяснить его, перенести на другую вычислительную ситуацию и проверить полученный результат.

Результат диагностической работы показан в диаграмме (рисунок1).

Полученные изменения следует рассматривать вместе с тем, как была организована работа на формирующем этапе. Дифференцированные самостоятельные задания регулярно требовали от обучающихся самим выбирать способ вычисления, не рассчитывая каждый раз на непосредственную помощь учителя. Парная и разновозрастная работа дополняла это условие: детям нужно было объяснить использованный прием, проверить действия другого обучающегося и при необходимости сравнить несколько вариантов решения.

Поэтому при рассмотрении результатов контрольной диагностики внимание уделялось не только правильности вычислений. Более важными для оценки динамики стали изменения в том, насколько самостоятельно обучающийся выбирает рациональный способ, может обосновать свой выбор и способен проверить полученный результат.

Таблица 1. Сопоставление суммарных первичных баллов на констатирующем и контрольном этапах (предварительно, до проверки исходных диагностических работ)

Таким образом, результаты констатирующего и контрольного этапов показали, что изменения вычислительных умений у обучающихся второго и третьего классов были неодинаковыми. Во втором классе общий показатель по пяти диагностическим заданиям остался на прежнем уровне. После проверки индивидуальных баллов было установлено, что до проведения формирующей работы дети набрали в сумме 46 баллов, и при повторной диагностике результат составил столько же. Таким образом, количественного улучшения в этой группе зафиксировать не удалось. Однако одинаковая сумма баллов еще не означает, что в способах выполнения заданий не произошло никаких изменений. Для более подробной оценки необходимо рассмотреть письменные работы школьников и записи их объяснений, чтобы выяснить, стали ли дети осознаннее выбирать вычислительные приемы и обосновывать свои действия.

У обучающихся третьего класса результаты повторной диагностики оказались ниже первоначальных. По представленным индивидуальным показателям общая сумма баллов уменьшилась с 33 до 23. Если на констатирующем этапе средний результат одного ученика составлял 6,6 балла, то на контрольном этапе он снизился до 4,6 балла. Различия обнаруживаются и при рассмотрении отдельных диагностических заданий. Полученные данные не дают оснований говорить о положительных изменениях вычислительных умений в целом. Вместе с тем причины такого снижения пока остаются неустановленными. Необходимо проверить, были ли одинаковыми по сложности задания на обоих этапах, правильно ли применялись критерии оценивания и соответствуют ли итоговые показатели индивидуальным результатам детей. Для этого потребуется повторно изучить протоколы выполнения диагностических работ.

При оценке проведенного исследования следует учитывать, что организация самостоятельных заданий разного уровня сложности и взаимодействия обучающихся в парах еще не свидетельствует об эффективности этих приемов. Для такого вывода необходимо подтвердить положительные изменения результатами диагностики, проведенной по единым критериям и с использованием сопоставимых заданий. Имеющиеся таблицы пока этого не показывают. Поэтому считать гипотезу исследования подтвержденной на основании полученных количественных данных нельзя. Окончательная оценка результативности предложенных педагогических условий требует дополнительной проверки диагностических материалов, уточнения индивидуальных показателей и анализа сохранившихся письменных работ обучающихся.

Опытно-экспериментальная работа была посвящена изучению особенностей формирования у младших школьников умений рационально выполнять вычисления в условиях объединенного класса-комплекта. Первоначальная диагностика показала, что обучающиеся второго и третьего классов по-разному справляются с предложенными заданиями. При рассмотрении полученных результатов особое внимание уделялось не только количеству правильных ответов, но и тому, насколько самостоятельно дети могут подобрать удобный способ решения. Важно также, чтобы школьники понимали, почему используют определенный прием, умели применять его при вычислении других выражений и проверять правильность выполненных действий. Именно эти умения необходимо было развивать в ходе дальнейшей работы.

На формирующем этапе были использованы два педагогических условия, определенных ранее. Первое было связано с организацией дифференцированной самостоятельной работы. Пока учитель занимался с одним классом, обучающиеся другого выполняли задания, подобранные с учетом их учебных возможностей. Второе условие предусматривало совместную деятельность школьников в парах и разновозрастных группах. Дети должны были обсуждать способы вычислений, объяснять друг другу последовательность действий и проверять полученные ответы. Такая организация занятий давала возможность включать обучающихся в самостоятельный выбор рациональных приемов и их обсуждение. Однако для оценки того, насколько эти условия повлияли на развитие вычислительных умений, недостаточно перечислить проведенные упражнения. Необходимо также рассматривать зафиксированные наблюдения за работой детей и результаты выполнения конкретных заданий.

Повторная диагностика не показала устойчивого повышения исследуемых показателей. Во втором классе общая сумма первичных баллов после формирующего этапа осталась такой же, как и в начале исследования. У третьеклассников, напротив, было отмечено снижение суммарного результата. Кроме того, при проверке представленных материалов обнаружились расхождения в подсчете баллов и распределении обучающихся по уровням сформированности вычислительных умений. Эти сведения необходимо уточнить, прежде чем делать окончательные выводы. На основании имеющихся количественных результатов гипотезу исследования пока нельзя считать достаточно подтвержденной.

Дальнейшая работа должна быть направлена на проверку правильности диагностических подсчетов и уточнение используемых критериев оценивания. Также требуется установить, были ли задания первоначальной и повторной диагностики сопоставимы по сложности. Отдельного рассмотрения заслуживают реальные письменные работы школьников и зафиксированные объяснения выбранных ими вычислительных приемов. Их изучение позволит более подробно определить, какие изменения произошли в отдельных умениях детей и каким образом каждое из предложенных педагогических условий могло повлиять на освоение рациональных способов вычисления.

Выводы

Исследование было посвящено изучению педагогических условий, при которых у обучающихся второго и третьего классов малокомплектной школы могут формироваться умения рационально выполнять вычисления. В работе рассматривались теоретические вопросы обучения вычислительным приемам и особенности проведения уроков математики в объединенном классе-комплекте. Отдельное внимание уделялось организации самостоятельной деятельности школьников, а также использованию парной работы и взаимодействия между детьми разных возрастов. Предполагалось не только обосновать предложенные педагогические условия, но и проверить их в ходе опытно-экспериментальной работы.

При решении первой задачи были изучены содержание и методика формирования рациональных вычислительных умений у младших школьников. К основным приемам относятся разложение чисел на удобные слагаемые, дополнение до круглого числа, применение свойств арифметических действий и преобразование числовых выражений. Дети также должны научиться сравнивать несколько вариантов вычисления и самостоятельно проверять полученные ответы. Освоение этих действий предполагает постепенное усложнение учебных заданий. Сначала школьники знакомятся с новым приемом через объяснение учителя и выполняют вычисления по предложенному образцу. В дальнейшем им необходимо самим определять подходящий способ решения, в том числе при изменении числового материала. При этом правильность ответа является только одной из характеристик сформированного умения. Не менее важно, понимает ли ребенок основание выбранного приема, может ли объяснить выполненные преобразования, применить знакомый способ в другой ситуации и проверить собственные действия.

В ходе решения второй задачи рассматривалась организация математического обучения в малокомплектной школе. Совместное проведение уроков для второго и третьего классов требует от учителя заранее продуманного распределения времени между двумя группами детей. Пока педагог непосредственно работает с одним классом, обучающиеся другого должны самостоятельно выполнять задания, соответствующие их уровню подготовки. Для этого необходимо подбирать доступные по содержанию карточки, предусматривать понятные инструкции и способы проверки выполненной работы. Продолжительность отдельных частей урока также зависит от изучаемого материала. Некоторые задания можно предлагать одновременно обоим классам, если они предполагают выполнение сходных учебных действий. В остальных случаях требуется дифференцированный подход, позволяющий учитывать различия в сложности числового материала. Обсуждение решений в парах при этом может дополнять самостоятельную работу детей.

Для выполнения третьей задачи был подготовлен и апробирован комплекс заданий, основанный на двух педагогических условиях. Первое предусматривало дифференцированную самостоятельную деятельность обучающихся в то время, когда учитель занимается с другим классом. В содержание такой работы вошли упражнения на поиск удобного вычислительного приема, преобразование выражений, объяснение последовательности решения и проверку результата. Второе условие было связано с организацией парной работы и разновозрастного взаимодействия школьников. При выполнении заданий дети могли обсуждать выбранные способы вычислений, сравнивать их между собой, объяснять отдельные действия и разбирать ошибки. Подготовленные дидактические материалы и технологические карты могут использоваться учителями при планировании уроков математики в объединенных классах-комплектах. Они составляют практический результат проведенного исследования.

Практическая ценность выполненной работы заключается прежде всего в разработке способов организации самостоятельной и совместной вычислительной деятельности, учитывающих условия малокомплектной школы. Вместе с тем вопрос об их результативности нуждается в дальнейшем изучении. Необходимо уточнить диагностические показатели, увеличить количество наблюдений за работой детей на уроках и провести повторную диагностику с использованием сопоставимых заданий. Это позволит более подробно проследить, какие именно умения изменяются в процессе обучения и какие элементы самостоятельной работы или взаимодействия школьников оказываются наиболее полезными. Особое значение имеет проверка того, насколько дети начинают осознанно выбирать рациональный вычислительный прием без непосредственной подсказки учителя. Продолжение исследования в указанных направлениях даст возможность более обоснованно оценить предложенные педагогические условия и их влияние на формирование вычислительных умений младших школьников.

1. Бажан, З. И. Методические приемы формирования действий самоконтроля у младших школьников на уроках математики / З. И. Бажан // Проблемы современного педагогического образования. – 2015. – № 46-1. – С. 188–194.
2. Поздеева, С. И. Учебная самостоятельность в контексте педагогики совместной деятельности / С. И. Поздеева // Вестник Томского государственного педагогического университета. – 2023. – Вып. 2 (226). – С. 7–15.
3. Виноградова, Н. Ф. Образовательный процесс и успешность учебной деятельности младшего школьника. Часть 1 / Н. Ф. Виноградова // Начальное образование. – 2025. – № 3 (128). – С. 3–6.
Список источников:
4. Моро, М. И. Актуальные проблемы методики обучения математике в начальных классах/ М. И. Моро, А. С. Пчелко, А. М. Пышкало [и др.] ; под ред. М. И. Моро, А. М. Пышкало. – М. : Педагогика, 1977. – 247 с.
5. Бантова, М. А. Методика преподавания математики в начальных классах: учебное пособие / М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова ; под ред. М. А. Бантовой. – 3-е изд., испр. – М. : Просвещение, 1984. – 335 с.
6. Истомина, Н. Б. Методика обучения математике в начальных классах: учебное пособие / Н. Б. Истомина. – 4-е изд., стер. – М. : Академия, 2001. – 288 с.
7. Об утверждении федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования: приказ Министерства просвещения Российской Федерации от 31 мая 2021 г. № 286 : зарегистрирован Министерством юстиции Российской Федерации 5 июля 2021 г. № 64100 // Официальное опубликование правовых актов. – 2021. – 5 июля. – Номер опубликования 0001202107050028. – Дата обращения: 17.09.2026.
8. Об утверждении федеральной образовательной программы начального общего образования: приказ Министерства просвещения Российской Федерации от 18 мая 2023 г. № 372 : зарегистрирован Министерством юстиции Российской Федерации 12 июля 2023 г. № 74229 // Официальное опубликование правовых актов. – 2023. – 13 июля. – Номер опубликования 0001202307130044. – Дата обращения: 17.09.2026.
9. Федеральная рабочая программа начального общего образования. Математика. 1–4 классы. – М. : Институт содержания и методов обучения им. В. С. Леднева, 2025. – Дата обращения: 17.09.2026.