Использование кейс-технологии на уроках математики в профильном социально-экономическом классе

Этап	Действия учителя	Действия учащихся	Формируемые УУД
0	подготовка кейса
1	распределение учащихся по малым группам, выдача кейса	знакомство с кейсом, распределение ролей в группе	коммуникативные, личностные
2	организация работы учащихся в группах	выделение основной проблемы, её анализ	общеучебные
3	организация дискуссии	дискуссия (мозговой штурм), выбор вариантов решения	логические, коммуникативные
4	помощь учащимся в анализе ситуации	анализ вариантов решения	регулятивные (А)
5	консультирование	выбор наилучшего из предложенных вариантов, осуществление решения	общеучебные, знаково-символические, регулятивные (Б),
6	оценивание результатов	презентация результатов, рефлексия	коммуникативные, регулятивные (В)

Известно несколько вариантов классификации кейсов [3-4]:

– иллюстрирующие, аналитические и проблемные;

– структурированные, неструктурированные и первооткрывательские;

– репродуктивные, конструктивные и творческие;

– тренировочные, обучающие, исследовательские, систематизирующие и прогностические и т.д.

Легко видеть, что эти классификации в значительной степени дублируют друг друга: так, например, проблемные кейсы выделяются в каждой из них (хотя и под различными названиями).

Рассмотрим особенности применения кейсов при обучении математике в профильном социально-экономическом классе. Для этого профиля наиболее логичным представляется подбор кейсов, ориентированных именно на экономическую тематику. В некоторой степени их можно рассматривать как пропедевтику методов, используемых в высшей школе по социально-экономическим направлениям подготовки.

В школьных учебниках и задачниках кейсовые задания, как правило, не представлены, но учителя-практики приводят ряд задач, приспособленных к этой педагогической технологии, в частности:

– кейсы на основе традиционных текстовых задач (например, на скорость, на производительность, стоимость и т.д.);

– задачи на проценты (например: расчёт суммы кредита на основе договора в условиях просрочки платежей и начисления штрафов) [5];

– сравнение нескольких вариантов получения услуги (например, доставки грузов) у фирм с разной схемой оплаты [6];

– исследование функций или иных объектов с табличным представлением результатов (например, исследование формы квадратичной функции в зависимости от значений дискриминанта и коэффициента a) [6];

– статистическое исследование выборок (например, суточной производительности труда нескольких рабочих) [5];

– задачи оптимальной упаковки однотипных объектов (например, икосаэдров) в прямоугольный параллелепипед заданных размеров [6];

– экстремальные задачи с табличными данными: например, поиск оптимальной цены квартиры с учётом числа комнат, удалённости от центра, различных повышающих и понижающих коэффициентов (выраженных в процентах) [5].

Приведём примеры различных видов кейсов, которые могут быть использованы в классе социально-экономического профиля, являющихся для учащихся личностно-значимыми и имеющие практико-ориентированный характер.

Иллюстрирующие кейсы предназначены для демонстрации подходов к решению определённого класса задач. В них степень участия учителя максимальна, он полностью ведёт ход работы и значительную её часть выполняет сам. Однако результаты не выдаются сразу, а требуют участия учеников. Например, учитель останавливает изложение рассматриваемого метода, задавая контрольные вопросы на понимание изложенного материала, либо просит предложить варианты дальнейших действий, либо поручает ученикам самостоятельно выполнить некоторые преобразования или расчёты. Решение таких задач, как правило, тривиально. Тем не менее, важно научить школьников формировать математические модели по текстовому описанию.

На наш взгляд, для иллюстрирующих кейсов наиболее подходят задачи на проценты и на варианты получения услуги, а также их комбинации, как в следующем примере:

Пример 1: Имеется некоторая денежная сумма (например, 1 миллион рублей). Несколько банков предлагают условия:1) вклад на три года с 8,5% годовых; 2) вклад на три года с 8% годовых с ежемесячной капитализацией;3) вклад на один год с 8,3% годовых с возможностью пролонгации на тех же условиях. Каким образом получить наибольший доход за три года?

Примером неструктурированного кейса, аналогичного по типу задачи, является поиск наиболее выгодного варианта вкладов и кредитов по реальным данным, размещённым на сайтах банков. Кейс такого типа может быть дан как групповое задание, предполагающее параллельную работу учащихся с последующим внесением результатов в единую таблицу.

Аналитические кейсы предназначены для обучения анализу и оценке. Здесь могут рассматриваться задачи на оптимизацию или задачи, предполагающие несколько вариантов решения. В отличие от аналогичного по содержанию некейсового проекта, при работе над кейсом предполагается дискуссия о целесообразности различных подходов к решению (метод перебора, логические рассуждения и составления уравнения, составление опорной линейной функции и т.д.).

Пример 2: В двух шахтах добывают медь и олово. В первой шахте – 100 рабочих, каждый из них может трудиться 5 часов в день и за час добывает 1 кг меди или 3 кг олова. Во второй шахте – 200 рабочих, каждый из которых готов может трудиться 6 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 3 кг меди или 1 кг олова. Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где производится сплав меди и олова в пропорции 2:1. Найти максимальное количество сплава, которое может быть выплавлено из дневной выработки шахт.

Пример 3: Имеется стальной прямоугольный лист с размерами a и b, из которого требуется получить ящик максимального объёма (лист можно резать, сгибать, сваривать встык и под прямым углом). Подсчитать отношение площади обрезков к исходной площади листа.

Рассмотрение примера 3 можно начать с частного случая, при котором прямоугольник является квадратом, затем обобщить этот подход на случай произвольного прямоугольника, затем рассмотреть варианты раскроя прямоугольного листа в случаях, когда длина существенно больше ширины. В процессе рассмотрения кейса могут быть введены дополнительные ограничения (например, на длину шва, на количество линий разреза и т.д.).

Проблемные кейсы, обучающие решению проблем и принятию решений, можно разделить на несколько групп:

– кейсы, предполагающие визуализацию данных, кластеризацию, статистическую обработку, аппроксимацию, оптимизацию и т.п. – не выходя за рамки школьной программы по математике (не предполагающей системного изучения элементов математической статистики); можно ограничиться только визуализацией и графической кластеризацией (например, изобразить табличные данные на координатной плоскости и предложить критерии разбиения множества на подмножества);

– кейсы, базирующиеся на теории игр и посвящённые выработке стратегий (могут быть применены, например, при изучении комбинаторики);

– кейсы, предполагающие составление систем уравнений и их решение – аналитическое или графическое (например, кейсы, в которых рассматриваются функции спроса и предложения, графики безубыточности и т.д.).

Пример 4: На рынке представлено несколько десятков моделей смартфонов. Внести в таблицу параметры смартфонов: размер экрана, размер оперативной памяти, разрешение камеры, цена и т.д. Показать на координатных графиках сравнение рассматриваемых моделей. Предложить критерии классификации моделей. Предложить весовые коэффициенты влияния параметров и формулу комплексного показателя качества. Найти модель с наилучшим соотношением цена/качество.

Данный кейс развивает навыки графического представления численных данных и их сравнительного анализа. Интерес представляет задача синтеза формулы показателя качества и выбора коэффициентов.

Пример 5: Имеется бизнес-план, предполагающий продажу выпечки. Начальные вложения в пекарню – 600 тыс. рублей, ежегодные расходы на пекарню – 300 тыс. рублей, оплата труда каждого пекаря – 50 тыс. рублей в месяц (60 тыс. рублей за работу во вторую или третью смену), производительность труда пекаря – 300 изделий в смену, предполагаемый спрос на продукцию – 1000 ед. в день, прибыль с каждой единицы продукции – 15 руб. Имеется несколько вариантов кредитования: 10% на год с выплатой всей суммы по через год, 12% на три года с ежемесячным погашением 1% процента от суммы; 15% на пять лет с ежемесячным платежом 0,5% и возможностью досрочной выплаты. Какой кредит и на какую сумму нужно взять, чтобы: а) быстрее всего достичь безубыточности? б) минимизировать издержки? Сколько пекарей имеет смысл взять на работу?

Данный кейс – упрощённый вариант реальных кейсов, рассматриваемых при изучении экономических дисциплин [7]. Как и в примере 4, при рассмотрении кейса целесообразно использовать информационные технологии (электронные таблицы).

Представленный выше материал позволяет предложить ещё несколько критериев классификации кейсов, используемых при обучении математике:

– по типу задач: на скорость, на производительность, на проценты и т.д.;

– по количеству сравниваемых вариантов;

– по наличию или отсутствию требования оптимальности решения;

– по форме представления исходных данных (текст, таблица, неструктурированные числовые данные, графики и т.д.);

– по типовым подходам к работе над кейсом (решение перебором, заполнение таблиц и их статистическая обработка, визуализация и кластеризация данных, выработка стратегий и т.д.).

Обобщая опыт применения кейс-технологий на уроках математики в профильном социально-экономическом классе, можно отметить, что введение кейсов в учебный процесс способствует активизации аналитического и критичного мышления, повышению интереса к выбираемому школьниками роду деятельности, формированию навыков исследовательской деятельности, готовности работать в команде.

Вместе с тем использование кейс-технологии требует от учителя тщательного выбора заданий для кейса и проработки методики его проведения. В качестве методического обеспечения этого процесса может быть предложено формирование банка типовых заданий для кейсов с дополнительными рекомендациями их применения: класс, тема, рекомендуемый формат применения, ориентировочная сложность и трудоёмкость (в том числе при групповой работе) и т.д.