Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования) | Мир педагогики и психологии №7 (24) Июль, 2018

Пропедевтика функциональной линии в начальном курсе математики

Вендина Алла Анатольевна
канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры математики и информатики, Ставропольский государственный педагогический институт, РФ, г. Ставрополь, aavendina@gmail.com

Аннотация: В статье обоснована необходимость пропедевтики функциональной линии в курсе математики начальной школы; проанализированы понятия функции, изучаемые в 7-м классе и ее основные своства, позволяющие определять зависимость одной величины от другой как функциональную. Автором также предложена классификация заданий, рассматриваемых в начальной школе, решение которых поможет младшему школьнику в усвоении понятия функции в 7-11-х классах и на следующих этапах обучения. Предлагаемые задания, в том числе составленные автором, могут быть использованы учителем в качестве учебного или вспомогательного материала на уроках математики или во внеурочной деятельности в системной подготовке обучаемых для осуществления преемственности и непрерывности математического образования.
Ключевые слова: функция, соответствие, зависимость, математика, начальная школа, текстовая задача

Vendina Alla Anatolyevna
Cand. Sci. (Phys.-Math.), Associate professor at the Department of mathematics and Informatics, Stavropol state pedagogical Institute, Russia, Stavropol

Abstract: The need for functional line propaedeutics in the course of mathematics of primary school is justified in this article. Тhe concepts of function and its main properties were analyzed, studied in the 7th grade. The function defines the dependence of one value on another as functional. Job classification has been proposed for primary school. The solution of these tasks will help the younger student in mastering the concept of function in 7-11 grades and in the next stages of education. The proposed tasks can be used by the teacher as educational or auxiliary material in math lessons, in extracurricular activities, in the systematic training of students for the implementation of continuity and continuity of mathematical education.
Keywords: function, correspondence, dependence, mathematics, elementary school, text problem

Функциональная линия является одной из основных в школьном курсе математики, при изучении которой обучаемые сталкиваются с определенными сложностями. Происходит это, прежде всего, из-за слабой подготовки школьников к изучению данной темы, отсутствия у них элементарного понимания, что представляет собой функциональная зависимость, в результате чего ученики испытывают значительные затруднения при изучении числовых функций, их свойств и особенностей построения графиков. В начальном курсе математики понятие функции не рассматривается, однако идея функциональной зависимости величин буквально его пронизывает. Несомненно, учитель начальных классов не только должен владеть набором определенных знаний о функциях, но и осуществлять пропедевтику функциональной линии в начальной школе.

С зависимостями функционального типа каждый человек встречается как на уроках математики, так и в повседневной жизни в результате наблюдения в различных процессах изменения одних величин при изменении других. Например, стоимость покупки зависит от количества покупаемого товара; расстояние, которое можно проехать за определенное время, полностью зависит от скорости движения; время разморозки в СВЧ-печи зависит, в основном, от массы продуктов и т.д.

В 7-м классе школьники на уроках алгебры изучают понятие функции, а также простейшую линейную функциональную зависимость, ее свойства и график. Практически все определения функции в различных учебно-методических комплексах основываются на представлении функции, как некотором правиле или законе (f), согласно которому устанавливается соответствие между числовыми множествами. Причем каждому элементу множества независимых переменных из области определения функции должно соответствовать единственное значение из множества зависимых переменных (рис. 1) [4]. Такое соответствие называется функциональными [15, с. 114].

Рисунок 1. Задание функции с помощью установления соответствия

Так, например, в учебнике алгебры под редакцией С.А. Теляковского дается следующее определение: «Функция – это соответствие между двумя множествами, при котором каждому элементу одного множества соответствует единственный элемент другого множества» [1, с. 57], а группа авторов: А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский и М.С.Якир вводит понятие функции как «правило, с помощью которого по каждому значению независимой переменной можно найти единственное значение зависимой переменной» [11, с. 136]. В высшей школе преимущественно рассматривается модельный аспект понятия функции относительно изучения явлений природы, то есть функция выступает для описания математических моделей различных ситуаций и естественных процессов.

Таким образом, для задания функции необходимо определить два множества элементов и правило или закон, в соответствии с которым для каждого элемента первого множества, называемого областью определения функции, однозначно находится единственный элемент другого множества, называемого областью значений функции. Такой подход соответствует логическому подходу в трактовке понятия функции [12]. В том случае, если речь идет о числовых множествах, то говорят о числовых функциях, однако, как следует из рассмотренных определений, функциональная зависимость не обязательно может рассматриваться на числовых промежутках.

В школьном курсе математики функция может задаваться различными способами: аналитическим (с помощью формулы), табличным, графическим или словесным. В начальной школе учащиеся сталкиваются с функциональными зависимостями, заданными в табличной или словесной формах, не затрагивая при этом категорийный функциональный аппарат. Также в начальном курсе математики обычно значение функции является неизвестной величиной, которую нужно найти, подставив в формулу, соответствующей условиям задачи, известную величину (значение аргумента). Например, в задаче: «Из книги, состоящей из 200 страниц, Маша прочитала 50 страниц. Сколько страниц осталось прочитать?», чтобы найти ответ, в правило нахождения разности необходимо подставить известную величину (значение аргумента) и найти неизвестную, зависящую от аргумента (значение функции); то есть ответ зависит от количества прочитанных Машей страниц.

Мы полагаем, что эффективное изучение функциональной линии в 7-11-х классах во многом зависит от усвоения младшими школьниками идеи изменчивости величин в соответствии с известным правилом на заданных множествах. Для многих заданий курса математики начальной школы характерно отсутствие вариативности, когда верным ответом примера или задачи будет являться только одно единственное число. Например, в решении примера «9 - 5 = …»  ответом будет являться только число 4, или в задаче «Сторона квадрата равняется 5. Найти периметр фигуры» ответом также будет единственное число 20. И в одной, и в другой задаче любой другой ответ будет неверным. Пропедевтика функциональной линии неизменно влечет за собой решение заданий допускающих изменение ответа при изменении количественной переменной в задаче.

Проанализировав учебно-методические комплексы по математике для начальной школы, методическую литературу по рассматриваемому вопросу, мы выделили следующие типы заданий, направленные на реализацию пропедевтики функциональной линии:

• установление соответствия между множествами (1 тип);
• нахождение значения выражения с помощью координатного луча (2 тип);
• дополнение числовых рядов и заполнение таблиц по заданному правилу (3 тип);
• работа с диаграммами (4 тип);
• текстовые задачи на прямую и обратную пропорциональности (5 тип);
• задачи с открытыми данными (6 тип);
• задачи на процессы (7 тип);
• использование формул и буквенных выражений (8 тип);
• решение заданий с помощью координатной плоскости (9 тип);
• логические задания на установление соответствия между элементами двух множеств (10 тип).

Рассмотрим примеры заданий каждого типа.

1 тип: установление соответствия между множествами. Отметим, что задания данного типа, прежде всего, встречаются в первом классе при сравнении количества элементов двух множеств, что позволяет формировать у младших школьников смысл отношений «меньше», «меньше на», «больше», «больше на», «столько же». Мы полагаем, что подобных заданий недостаточно для реализации логического подхода в формировании у обучаемых понятия функции, что обуславливает необходимость иллюстрировать понятие функции при помощи разнообразных средств: задание функции стрелками и использование числового и геометрического материала, как, например, в следующем задании.

Задача 1 (составлена автором). Соедини стрелками примеры и соответствующие для них ответы.

1) 9 + 9 = …                                    А) 11

2) 6 + 8 = …                                    Б) 18

3) 9 + 2 = …                                    В) 13

4) 5 + 7 = …                                    Г) 12

5) 7 + 4 = …                                    Д) 17

6) 8 + 5 = …                                    Е) 14

2 тип. Нахождение значения выражения с помощью координатного луча: сравнение чисел (больше то, которое находится правее в числовом ряду), выполнение сложения и вычитания, составление числовых равенств.

Задача 2 [6, с. 4]. Белка прыгает по числовому лучу, начиная с точки 0. Каждый ее прыжок составляет 3 деления. В каких точках окажется белка: а) через 2 прыжка; б) через 3 прыжка; в) через 5 пряжков? Сколько прыжков нужно сделать белке, чтобы оказаться в точке 12? Может ли белка, так прыгая, оказаться в точке 16?

Задача 3 [7, с. 83]. Запиши равенство, которое изобразили на числовом луче (рис. 2).

Рисунок 2. Составление числовых равенств с помощью числового луча

3 тип: дополнение числовых рядов и заполнение таблиц по заданному правилу.

Задача 4 [6, с. 6]. Заполни пропуски в табл. 1, выполнив вычисления.

Таблица 1. Изменение одной величины с сохранением другой

В приведенном примере идея изменения будет выражаться в следующем: при изменении одного из компонентов арифметического действия и оставлении без изменения другого результат действия обязательно изменится.

4 тип: работа с диаграммами, наглядно представляющими зависимости между дискретными величинами.

Задача 5 [13, с. 38]. На диаграмме показано, сколько взрослых билетов было продано на детский спектакль в каждый из пяти дней недели. В какой день было продано 10 билетов? На сколько больше билетов продали во вторник, чем в среду? В какой день продали больше всего билетов? Сколько билетов продали в четверг и пятницу?

Рисунок 3. Изображение дискретных величин с помощью диаграммы

5 тип: текстовые задачи на прямую и обратную пропорциональности: в них известны три величины и требуется найти четвертую.

Задачи на прямую пропорциональность, в которых переменные связаны линейным соотношением y = kx, где x и y – переменные, а k – постоянная величина, в начальной школе называются задачами на нахождение четвертого пропорционального [8]. Приведем пример такого задания.

Задача 6 (составлена автором). Карлсон прочитал в рецепте клубничного варенья о том, что на 4 кг ягод надо взять 3 кг сахарного песка. Сколько килограммов сахарного песка надо взять Карлсону, чтобы сварить варенье из 12 кг ягод?

Решение задачи основывается на свойстве монотонности линейной функции y = kx: с увеличением (уменьшением) независимой переменной x во столько же раз увеличивается (уменьшается) соответствующее значение зависимой переменной y, в связи с чем, решение принимает вид:

1) 12 : 4 = 3 (раза);

2) 3 × 3 = 9 (кг).  

В задачах на обратную пропорциональность переменные связаны соотношением y = k/x, где x и y – переменные, а k ¹ 0 – постоянная величина. Функция y = k/x является математической моделью многих реальных ситуаций, рассматриваемых в начальном курсе математики. Одна из них описана в следующем задании.

Задача 7 (составлена автором). Гарри Поттер, двигаясь со скоростью 150 м/мин, пролетел на метле из Хогвартса в Хогсмид за 120 минут. Сколько времени потратит Гарри на обратный путь, если будет лететь со скоростью 450 м/мин?

Решение седьмого задания может быть проведено двумя способами.

Первый способ: сначала узнаем расстояние из Хогвартса в Хогсмид, а затем время полета Гарри Поттера на обратном пути:

1) 150 × 120 = 18000 (м);

2) 18000 : 450 = 40 (мин).

Второй способ: узнаем, во сколько раз увеличилась скорость (450 : 150 = 3 раза), значит, во столько же раз уменьшилось время при том же расстоянии: 120 : 3 = 40 (мин). 

В начальной школе такой тип заданий называется задачами на пропорциональное деление [8]; их решение опирается на основное свойство обратной пропорциональности: во сколько раз больше (меньше) одна величина, во столько же раз меньше (больше) искомая величина.

6 тип: задачи с открытыми данными.

Задача 8 [5, с. 34]. За булочку надо было заплатить рублей. Мальчик дал в кассу 15 рублей. Сколько он получит сдачи? Дополни условие задачи таким образом, чтобы в ответе получилось число, которое меньше 5. Реши задачу.

7 тип: задачи на процессы (движение, «куплю продажу», работу).

Решение текстовых задач на различные процессы предполагает рассмотрение зависимостей между величинами, осмысление простейших правил, закономерностей [2]. Учащиеся постепенно приучаются к тому, что есть величины, которые могут менять свои числовые значения, причем в зависимости от изменения одной величины другая величина тоже меняется.

8 тип: использование формул и буквенных выражений. Младшие школьники знакомятся со смыслом понятия «формула» как равенства, содержащего буквы; различными часто встречающимися формулами из геометрии и алгебры; учатся сами составлять формулы и производить вычисления по ним. Работая с формулой, они выясняют, от скольких и каких именно других величин зависит обозначенная величина.

Задача 9 (составлена автором). Запиши формулу, в которой стоимость покупки (С) выражается через цену товара (a) и его количество (n). Как изменится стоимость покупки, если цена товара увеличится в 4 раза, а количество товара останется тем же? Как изменится стоимость покупки, если количество товара увеличится вдвое, а цена не изменится? Как изменится стоимость покупки, если количество товара увеличится вдвое и цена товара снизится тоже в 2 раза?

Задача 10 [10, с. 78]. Запиши сумму и разность чисел a и 8 и найди их значения при a = 12, a = 20, a = 32, a = 48.

Задача 11 [15, с. 32]. Рассмотри равенство (1). Какую букву и каким числом нужно заменить, чтобы равенство было верным, при любом значении других букв (исключая n = 0).

(r+r:n-m)∙(a:2∙x)=0  (1).

9 тип: решение заданий с помощью координатной плоскости. Координатная плоскость позволяет наглядно представлять зависимости между двумя величинами. Обучаемые знакомятся с терминологией; учатся определять координаты точек и строить точки по координатам, строить геометрические фигуры и простейшие графики. Школьники осваивают учебные действия по работе с системой координат, которые будут необходимы при изучении конкретных функций на последующих ступенях обучения.

Задача 12 (разработана автором). Питер Пэн составил карту острова Нетинебудет (рис. 4). На каком поле расположены горы: Б3 или В3? В каком поле расположен клад? Заполнено ли поле В2? Что находится в поле А3? (Сначала определяют координаты по горизонтали, а затем по вертикали).

Рисунок 4. Карта острова Нетинебудет

10 тип: логические задания на установление соответствия между элементами двух множеств. Подобные задания относятся к разряду нестандартных и чаще всего встречаются в начальном курсе информатики; как правило, они связаны с рассмотрением конечных множеств одинаковой мощности, между которыми имеются некоторые зависимости, которые необходимо установить с помощью вспомогательной таблицы.

Задача 13 [9, с. 43]. Света, Ира и Нюша собирают разные предметы: открытки, магниты и марки. Что собирает каждая из девочек, если известно, что Света не собирает магниты, Ира не собирает открытки, а Нюша имеет самую большую коллекцию марок в классе?

Для решения задачи младшим школьникам необходимо составить упорядоченные пары, первым элементом которых является имя девочки, а вторым - собираемый ею предмет. С этой целью составляется вспомогательная таблица, анализируя которую учащиеся заключают, что Нюша собирает марки; так как Света не собирает ни магниты, ни марки, следовательно, она собирает открытки; остается Ира, которая собирает магниты (табл. 2).

Таблица 2. Решение задачи 13 с помощью таблицы

Ответ: Света – открытки, Ира – магниты, Нюша – марки.

Познакомившись с различными способами решения заданий, закономерностями, правилами, школьники учатся самостоятельно составлять задачи и примеры. На получение этих, более сложных, навыков также должны быть направлены задания, решаемые в начальной школе. Например, «Сторона квадрата равна 4 см, найдите площадь фигуры при условии, что стороны увеличили на 1 см. Составьте и решите подобную задачу на нахождение периметра». При решении этой задачи школьник не только, опираясь на свои знания, проделывает действия и находит ответ задачи, но и активизирует свое логическое мышление для составления новой задачи.

Таким образом, современные программы по математике для начальной школы содержат множество заданий, которые можно использовать в качестве учебного материала для пропедевтики функциональной линии. Задача учителя состоит в грамотной организации работы обучаемых с подобными заданиями, ведь усвоение основ функциональной зависимости в период начального обучения математике оказывает позитивное влияние на формирование информационной и алгоритмической культуры младших школьников [3], способствующей овладению функционально-графической грамотности учащихся в средней школе.

1. Алгебра. 7 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под ред. С.А. Теляковского. М.: Просвещение, 2013. 256 с.
2. Алексеева А.В., Киричек К.А. Развитие у обучающихся в курсе математики основной школы умения решать задачи практического характера // Постулат. 2017. № 5-1 (19). С. 18.
3. Вендина А.А., Малиатаки В.В., Богомолов Е.В. Формирование информационной грамотности учащихся на уроках математики в начальной школе как средство реализации требований ФГОС // Мир педагогики и психологии. 2017. № 11 (16). С. 69-75.
4. Вендина А.А. Михоненко О.И. Различные подходы к определению функции в курсе математики средней школы // ОБРАЗОВАНИЕ И ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ НАУКИ В XXI ВЕКЕ: АКТУАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ, ДОСТИЖЕНИЯ И ИННОВАЦИИ Сборник статей Международной научно-практической конференции. Под общ. ред. Г.Ю. Гуляева. Пенза: МЦНС «Наука и Просвещение», 2017. С. 36-39.
5. Дорофеев Г.В., Миракова Т.Н., Бука Т.Б. Математика. 2 класс. Учеб. для общеобразоват. организаций. В 2 ч. Ч. 1. М.: Просвещение, 2015. 122 с.
6. Дорофеев Г.В., Миракова Т.Н., Бука Т.Б. Математика. 3 класс. Учеб. для общеобразоват. организаций с прил. на электрон. носителе. 5 изд. В 2 ч. Ч. 1. М.: Просвещение, 2015. 123 с.
7. Истомина Н.Б. Математика: учебник для 1 класса общеробразовательных организаций. В двух частях. Часть 1. 15-е изд. Смоленск: Ассоциация XXI век, 2015. 112 с.
8. Киричек К.А. Классификация текстовых задач начального курса математики // Гуманитарные научные исследования. 2016. № 1 (53). С. 98-101.
9. Кондрашова З.М., Солохин Н.Н. Логические задачи в начальной школе: технология обучения. Изд. 2-е. Ростов н/Д: Феникс, 2017. 137 с.
10. Математика. 2 класс. Учеб. для общеобразоват. организаций. В 2 ч. Ч. 1 / М.И. Моро, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова и др. М.: Просвещение, 2015. 96 с.
11. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра: 7 класс: учебник для учащихся общеобразовательных организаций. М.: Вентана-Граф, 2015. 272 с.
12. Погодина И. Методические особенности изучения функции в школьном курсе математики // Образование, здравоохранение, культура, демография: социальные проблемы современного общества. Сборник научных трудов по материалам Международной научно-практической конференции. 2017. С. 183-188.
13. Рыдзе О.А., Позднева Т.С. Математика: Работа с информацией: Таблицы. Диаграммы. Тренировачные задания для формирования предметных и метапредметных учебных действий: 3-й класс. Москва: АСТ: Апрель, 2015. 47 с.
14. Стойлова Л.П. Математика: учебник для студ. учреждений высш. проф. образования. М.: Издательский центр «Академия», 2013. 464 с.
15. Чуракова Р.Г., Кудрова Л.Г. Математика. 4 кл.: тетрадь для самостоятельной работы. М.: Академия/Учебник, 2015. 96 с.