Теория и методика профессионального образования | Мир педагогики и психологии №11 (28) Ноябрь, 2018
УДК 372.851
Дата публикации 21.11.2018
Использование программы GeoGebra при обучении геометрии будущих учителей математики
Овсянникова Татьяна Львовна
канд. пед. наук, доцент, ОГУ имени И.С. Тургенева (г. Орёл)
Аннотация: В статье рассматривается опыт использования программного пакета GeoGebra при обучении геометрии будущих учителей математики. Рассмотрены достоинства и недостатки программы, а также механизмы её использования в учебном процессе. Приведён план специализированного модуля для освоения программы.
Ключевые слова: обучение математике, обучение геометрии, системы динамической геометрии, GeoGebra, методика обучения математике
Cand. Sci. (Ped.), Associate professor, Orel State University named after I.S. Turgenev (Russia, Oryol)
Abstract: This article describes the experience of using the software package GeoGebra in teaching geometry to future teachers of math, the advantages and disadvantages of the program, as well as the mechanisms of its use in the educational process, the plan of a specialized module for the development of the program GeoGebra.
Keywords: teaching mathematics, teaching geometry, systems of dynamic geometry, GeoGebra, methods of teaching mathematics
Современные технологии обучения математике во многом определяются программным обеспечением, используемым в образовательном процессе. Действительно, сложно представить реальную практическую математическую задачу, при решении которой решающий будет лишён возможности использовать вычислительную технику и программное обеспечение.
Программное обеспечение не всегда позволяет полностью автоматизировать процесс решения математической задачи – в частности, в тех случаях, когда требуется построение математической модели, доказательство или исследование. Тем не менее, и в этом случае (в особенности – при решении геометрических задач) весьма желательна визуализация модели (в частности, построение чертежа), поскольку наглядность позволяет лучше понять проблему, упростить поиск вариантов решения (буквально «увидеть» подходы к решению). Здесь уместно вспомнить хрестоматийное высказывание К.Ф. Гаусса: «Математика – наука для глаз, а не для ушей». Во многих случаях важно не просто визуализировать модель, но проследить её поведение в динамике – при различных значениях одного или нескольких параметров, выявив и рассмотрев случаи, приводящие к неодинаковым результатам.
Программные продукты, реализующие для геометрических задач принципы наглядности и динамичности, называют системами динамической геометрии (СДГ). Использование СДГ при обучении математике позволяет:
– обеспечить высокую наглядность при изучении курсов элементарной, аналитической, дифференциальной и проективной геометрии;
– быстро и просто визуализировать аналитически заданные функции, в том числе параметрические (например, с целью локализовать области поиска решений или определить соответствующий геометрический образ).
Практически любая СДГ позволяет быстро и точно выполнять чертежи на плоскости и в трёхмерном пространстве, а также проводить исследования путём ручного или автоматического перемещения отдельных точек или изменения численных значений параметров. В сегменте СДГ существуют несколько десятков специализированных программных пакетов. Однако большинство из них не обладает высокой функциональностью (например, ограничены планиметрией: GeoNext, KSEG и др.), либо не поддерживают русский язык (C.a.R., Cabri, Cinderella, Dr. Geo, FreeGeo Mathematik, GeoProof, Geometria, Geometrix, Geometry Pad, GeomSpace, GEUP, Tabulae, WIRIS и т.п.), что препятствует успешному внедрению в условиях обучения в России. Для большинства программных продуктов этого сегмента уже несколько лет как прекращена дальнейшая разработка и поддержка (среди них – достаточно широко использовавшиеся в России пакеты The Geometer's Sketchpad, (GSP), известный в России как «Живая Математика» и российский пакет «1С. Математический конструктор»). Это произошло главным образом вследствие широчайшего распространения пакета GeoGebra.
Главные достоинства пакета GeoGebra:
– бесплатность,
– многоязычность интерфейса;
– простота и удобство графического интерфейса;
– возможность установки на различные операционные системы (даже на планшеты и смартфоны) и наличие онлайн-версии (впрочем, в онлайн-версии и при установке на мобильных гаджетах не поддерживается ввод команд, не представленных в графическом интерфейсе);
– наличие обширной (хотя не очень хорошо структурированной) базы примеров, открытой для добавления материалов пользователями.
В числе недостатков пакета GeoGebra можно отметить следующие:
– недостаточная документированность: система команд, не представленных в графическом интерфейсе, достаточно обширна, но не всегда интуитивно понятна, её возможности неочевидны неподготовленному пользователю программы (например, самостоятельное освоение построения параметрических кривых может вызвать у студентов некоторые трудности);
– неполная русифицированность оффлайновой программы и отсутствие русскоязычной версии официального сайта;
– отсутствие макросов и импорта формул в разметке TeX;
– отсутствие поддержки SCORM (в отличие, например, от пакета «1С. Математический конструктор»);
– непоследовательность интерфейса при переходе в 3D режим (например, теряется возможность построения ряда плоских фигур непосредственно в пространстве);
– невозможность перевода следа в линию;
– отсутствие поддержки проективных преобразований и неевклидовых геометрий.
Программа GeoGebra имеет также алгебраический модуль (существенно уступающий по функциональности системам компьютерной алгебры), табличный процессор и статистический модуль (также не очень мощный), но её геометрические возможности достаточны для большинства задач курсов элементарной, аналитической, проективной и дифференциальной геометрии.
В последние годы в России были опубликованы ряд книг и статей, рассматривающих отдельные аспекты использования пакета GeoGebra [1-6], но пока ещё отсутствуют учебные пособия, системно рассматривающие пакет как основной инструмент для выполнения построений при изучении геометрии в школе и вузе.
Отдельно можно отметить важность обучения основам работы в системах динамической геометрии будущих учителей математики. Опыт автора показывает, что учителя математики, освоившие программу GeoGebra в процессе обучения в вузе, практически всегда применяют её в своей дальнейшей педагогической деятельности, а также являются «узлами» распространения программы в общеобразовательных школах.
Основными механизмами использования пакета GeoGebra при обучении будущих учителей математики представляются следующие:
– выдача раздаточного материала, выполненного в программе GeoGebra;
– демонстрация на экране статического чертежа, выполненного в программе GeoGebra;
– демонстрация на экране динамического чертежа (с поворотом, с переходом между 2D и 3D, с изменением положения отдельных точек и т.д.);
– пошаговое построение преподавателем чертежа в программе GeoGebra в режиме реального времени (или выдача видеоролика с записью процесса построения для самостоятельного изучения);
– выдача преподавателем инструкции по построению файла в программе GeoGebra – как для освоения интерфейса программы и приёмов работы в ней, так и для самостоятельного выполнения построений и преобразований с целью доказательства теорем или рассмотрения приёмов решения задач;
– самостоятельное выполнение учащимися чертежей и визуализирующих иллюстраций при решении задач (здесь могут быть выделены несколько типовых сценариев: а) иллюстрирующие построения; б) графический эксперимент с целью поиска доказательства; в) исследование количества различных решений задачи; г) проведение численной проверки результатов вычислений, произведённых аналитически);
– проведение практикумов по работе в программе GeoGebra;
– реализация преподавателем тестовых заданий в виде апплетов программы GeoGebra (достаточно много таких заданий имеется в базе примеров на сайте проекта GeoGebra);
– поиск в базе примеров на сайте проекта GeoGebra чертежей и моделей, соответствующих рассматриваемой задаче, их анализ, а также доработка (русификация, анимация и т.п.) – такой вариант может быть уместен при выполнении достаточно сложных заданий.
Выполнение чертежа в программе GeoGebra, как правило, не является окончательным решением задачи, а лишь важной его составляющей. В некоторых случаях решение задачи может быть записано на плоскости чертежа средствами интерфейса самой программы, но для сложных задач с большим количеством последовательных действий, рассуждений и построений целесообразно выполнение дополнительного файла с решением.
В начале обучения геометрии будущих учителей имеет смысл предусмотреть отдельный модуль, посвящённый интерфейсу программы GeoGebra и повторению курса школьной геометрии – с визуализацией большинства задач при помощи динамических чертежей. Предлагаемый модуль позволит:
– актуализировать школьные знания по геометрии;
– дополнить школьные знания по элементарной геометрии; это важно в первую очередь – для тех студентов, кто изучал геометрию не на профильном, а на базовом уровне (кроме того, в российских учебниках профильного уровня материалы, дополнительные относительно базового минимума весьма существенно различаются);
– обеспечить изучение интерфейса программы и методов построений, достаточное для быстрого освоения последующих модулей, требующих динамических чертежей (аналитической геометрии, проективной геометрии и др.) независимо от того, был ли знаком данный студент на момент начала обучения с программой GeoGebra или другими системами динамической геометрии;
– научить будущего учителя самостоятельному созданию динамических чертежей для использования в профессиональной деятельности.
Например, последовательность этих занятий может быть такой:
Занятие 1. Тема: «Интерфейс и простейшие построения».
На этом занятии студенты изучают меню, особенности построения прямых, окружностей, треугольников, четырёхугольников, возможности использования ползунков, ввод текста на поле чертежа.
Занятие 2. Тема: «Задачи на построение циркулем и линейкой».
Студенты систематизируют умения и навыки, приобретённые в школе, решая, например, следующие задачи:
2.1. Постройте треугольник по трём сторонам.
2.2. Постройте окружность, касающуюся двух данных параллельных прямых и проходящую через данную точку.
2.3. Дана прямая и две точки А и В по одну сторону от неё. Найдите на прямой такую точку С, чтобы прямые АС и ВС были наклонены к прямой под равными углами.
2.4. В данный треугольник впишите квадрат так, чтобы две вершины квадрата принадлежала одной из сторон треугольника, а две других – двум другим сторонам.
2.5. Постройте равносторонний треугольник, у которого одна вершина совпадает с данной точкой, а две другие лежат на двух данных окружностях.
Занятие 3. Тема: «Анимация изображений и список команд».
Можно предложить следующие задачи.
3.1. Определите, какую траекторию будет описывать середина гипотенузы подвижного прямоугольного треугольника, сумма катетов которого равна 5.
3.2. Сделайте иллюстрацию к теореме: «Если секущая и касательная проведены из одной точки, то квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть».
3.3. Постройте чертёж, демонстрирующий правило параллелограмма при сложении векторов.
3.4. Найдите количество решений уравнения |х²-7|х|+10|=a в зависимости от значения параметра а.
Занятие 4. Тема: «Построения в 3D».
Для освоения построений в 3D следует предложить задачи на построение двугранных углов, сечений многогранников, вписанных и описанных многогранников. Например, следующие задачи.
4.1. Дан куб АВСDА1В1С1D1. Постройте сечение куба, проходящее через середины сторон АВ и ВС параллельно ВD1.
4.2. Постройте чертёж к задаче: «В правильной четырёхугольной пирамиде двугранный угол при ребре основания равен α. Найдите двугранный угол при боковом ребре».
4.3. Найдите площадь правильного треугольника, вписанного в окружность, являющуюся сечением сферы радиусом R плоскостью, проходящей на расстоянии a от центра сферы.
4.4. Постройте цилиндр и вписанный в него конус. Покажите, что объём конуса втрое меньше, чем цилиндра.
4.5. В правильную треугольную призму вписан шар, касающийся трёх граней и обоих оснований призмы. Найдите отношение поверхности шара к полной поверхности призмы.
Занятие 5. Итоговое занятие, предполагающее выполнение индивидуального проекта и модульной контрольной работы.
В качестве индивидуального задания будущим учителям можно предложить выполнить динамические чертежи к планиметрическим и стереометрическим задачам – например, из наборов ЕГЭ – что позволит обеспечить уникальность заданий для каждого студента: для ЕГЭ по математике (профильного уровня) образца 2018 года это задачи (3, 6, 8 и в особенности, 14 и 16).
GeoGebra является сравнительно удобным инструментарием и для других разделов математики: алгебры, анализа, математической статистики. Среди проектов, выполненных в программе GeoGebra, достаточно много посвящено теории замощения (тесселяции), имеются проекты, иллюстрирующие теорию графов, фракталы (например, множество Мандельброта) и хаотическую динамику, представляют интерес визуализации задач механики и оптики, имеющих геометрическую основу.
Навыки, полученные в программе GeoGebra, могут быть полезны и при освоении пакетов компьютерной алгебры, специализированных пакетов для численных методов и статистической обработки данных.
Список литературы
1. Безумова О.Л. Обучение геометрии с использованием возможностей GeoGebra. – Архангельск: КИРА, 2011, 140 с.
2. Колпакова Д.С. GeoGebra как средство визуализации решения задач на уроках геометрии в 7 классе. // Молодой учёный. 2018. №11. С. 164-167
3. Ларин С.В. Компьютерная анимация в среде GeoGebra на уроках математики: учебное пособие. – М.: Лабиринт, 2015. 192 с.
4. Овсянникова Т.Л. Использование программы GeoGebra на уроках геометрии в школе // Педагогические и психологические технологии в условиях модернизации образования. – Самара: НИЦ АЭТЕРНА, 2017. С. 166-170.
5. Садовничий Ю.В., Туркменов Р.М. Методические особенности использования интерактивной геометрической среды GeoGebra при изучении темы «решение нестандартных уравнений» // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Информатизация образования. 2015. С. 78-85.
6. Танкевич Л.М., Шкляр А.Е. GeoGebra как средство решения стереометрических задач // Молодой учёный. 2018. №11. С. 53-57.